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勾股定理有關證明篇一
勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學
愛
好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于
勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘
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劉徽在證明勾股定理時，也是用的以形證數的方法，只是具體的分合移補略有不同.劉徽的證明原也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪.開方除之，即弦也.”后人根據這段文字補了一張圖。大意是：三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放并成弦方。依其面積關系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方內，那一部分就不動了。 以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補虛，只要把圖中朱方(a2)的i移至i′，青方的ii移至ii′，iii移至iii′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形(c的平方 ).由此便可證得a的平方+b的平方=c的平方。 這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，劉徽為古籍《九章算術》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以后世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理。
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這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的'。路明思(elisha scott loomis)的 pythagorean proposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。
利用相似三角形的證法
利用相似三角形證明
有許多勾股定理的證明方式，都是基于相似三角形中兩邊長的比例。
設abc為一直角三角形, 直角于角c(看附圖). 從點c畫上三角形的高，并將此高與ab的交叉點稱之為h。此新三角形ach和原本的三角形abc相似，因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由于“高”的定義)，而兩個三角形都有a這個共同角，由此可知第三只角都是相等的。同樣道理，三角形cbh和三角形abc也是相似的。這些相似關系衍生出以下的比率關系：
因為bc=a,ac=b,ab=c
所以a/c=hb/a and b/c=ah/b
可以寫成a*a=c*hb and b*b=c*ah
綜合這兩個方程式，我們得到a*a+b*b=c*hb+c*ah=c*(hb+ah)=c*c
換句話說:a*a+b*b=c*c
[*]----為乘號
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