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勾股定理的證明方法篇一

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使d、e、f在一條直線(xiàn)上.過(guò)c作ac的延長(zhǎng)線(xiàn)交df于點(diǎn)p.∵d、e、f在一條直線(xiàn)上,且rtδgef≌rtδebd，∴∠egf=∠bed，∵∠egf+∠gef=90°，∴∠bed+∠gef=90°，∴∠beg=180o―90o=90o.又∵ab=be=eg=ga=c，∴abeg是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.∴∠abc+∠cbe=90o.∵rtδabc≌rtδebd，∴∠abc=∠ebd.∴∠ebd+∠cbe=90o.即∠cbd=90o.又∵∠bde=90o，∠bcp=90o，bc=bd=a.∴bdpc是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，hpfg是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形ghcbe的面積為s，則，∴.【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.過(guò)點(diǎn)q作qp‖bc，交ac于點(diǎn)p.過(guò)點(diǎn)b作bm⊥pq，垂足為m;再過(guò)點(diǎn)

f作fn⊥pq，垂足為n.∵∠bca=90o，qp‖bc，∴∠mpc=90o，∵bm⊥pq，∴∠bmp=90o，∴bcpm是一個(gè)矩形，即∠mbc=90o.∵∠qbm+∠mba=∠qba=90o，∠abc+∠mba=∠mbc=90o，∴∠qbm=∠abc，又∵∠bmp=90o，∠bca=90o，bq=ba=c，∴rtδbmq≌rtδbca.同理可證rtδqnf≌rtδaef.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以cf，ae為邊長(zhǎng)做正方形fcji和aeig，∵ef=df-de=b-a，ei=b，∴fi=a，∴g,i,j在同一直線(xiàn)上，∵cj=cf=a，cb=cd=c，∠cjb=∠cfd=90o，∴rtδcjb≌rtδcfd，同理，rtδabg≌rtδade，∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bcj，∵∠bcj+∠cbj=90o，∴∠abg+∠cbj=90o，∵∠abc=90o，∴g,b,i,j在同一直線(xiàn)上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連結(jié)

bf、cd.過(guò)c作cl⊥de，交ab于點(diǎn)m，交de于點(diǎn)

l.∵af=ac，ab=ad，∠fab=∠gad，∴δfab≌δgad，∵δfab的面積等于，δgad的面積等于矩形adlm的面積的一半，∴矩形adlm的面積=.同理可證，矩形mleb的面積=.∵正方形adeb的面積

=矩形adlm的面積+矩形mleb的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱(chēng)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱(chēng)。

我國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱(chēng)直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱(chēng)為勾，另一直角邊稱(chēng)為股，斜邊稱(chēng)為弦，所以勾股定理也稱(chēng)為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國(guó)又稱(chēng)“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過(guò)任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開(kāi)方除之得邪至日。

在法國(guó)和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國(guó)家稱(chēng)勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱(chēng)勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一書(shū)中總共提到367種證明方式。

有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù))來(lái)證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ恚圆荒茏鳛楣垂啥ɡ淼淖C明(參見(jiàn)循環(huán)論證)。

勾股定理的證明方法篇二

勾股定理證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。

中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話(huà)：周公問(wèn)："我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？" 商高回答說(shuō)："數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩得到的一條直角邊‘勾等于3，另一條直角邊’股等于4的時(shí)候，那么它的斜邊弦就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就

總結(jié)

在《九章算術(shù)》一書(shū)中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō)；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦。”《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢以來(lái)的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題和各個(gè)問(wèn)題的解法，列為九章，可能是所有中國(guó)數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。

中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。

上中間的那個(gè)小正方形組成的。

每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；

中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡(jiǎn)后便可得： a2+b2=c2

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形abde是由4個(gè)相等的直角三角形再加

劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(lái)(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿(mǎn)，完全用圖解法就解決了問(wèn)題。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀(guān)、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法

古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

勾股定理的證明方法篇三

數(shù)學(xué)證明題證明方法（轉(zhuǎn)）

2011-04-22 21:36:39|分類(lèi)：|標(biāo)簽： |字號(hào)大中小 訂閱

2011/04/2

2從命題的題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，來(lái)判斷命題的結(jié)論是否正確的過(guò)程，叫做證明。

要證明一個(gè)命題是真命題，就是證明凡符合題設(shè)的所有情況，都能得出結(jié)論。要證明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不能成立。證明一個(gè)命題，一般步驟如下：

（1）按照題意畫(huà)出圖形；

（2）分清命題的條件的結(jié)論，結(jié)合徒刑，在“已知”一項(xiàng)中寫(xiě)出題設(shè)，在“求證”一項(xiàng)中寫(xiě)出結(jié)論；

（3）在“證明”一項(xiàng)中，寫(xiě)出全部推理過(guò)程。

一、直接證明

1、綜合法

（1）定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的特點(diǎn)：綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是從已知條件和某些學(xué)過(guò)的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)得出結(jié)論.2、分析法

（1）定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法.（2）分析法的特點(diǎn)：分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.二、間接證明

反證法

1、定義：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2、反證法的特點(diǎn)：

反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立，即結(jié)論的反面成立，在已知條件和“假設(shè)”這個(gè)新條件下，通過(guò)邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時(shí)假設(shè)等相矛盾的結(jié)論，從而判定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的.３、反證法的優(yōu)點(diǎn)：

對(duì)原結(jié)論否定的假定的提出，相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件.４反證法主要適用于以下兩種情形：

（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線(xiàn)索不夠清晰；

（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類(lèi)討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形

勾股定理的證明方法篇四

2.2直接證明與間接證明bca案

主備人：史玉亮 審核人:吳秉政使用時(shí)間：2012年2-1

1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解直接證明的兩種基本方法，即綜合法和分析法。了解間接證明的一種基本方法——反證法。

2.了解綜合法和分析法的思考過(guò)程與特點(diǎn)，并會(huì)用兩種方法證明。了解反證法的解題步驟，思維過(guò)程及特點(diǎn)。

重點(diǎn)：

1.對(duì)綜合法和分析法的考查是本課的重點(diǎn)。應(yīng)用反證法解決問(wèn)題是本課考查的熱點(diǎn)。

2.命題時(shí)多以考查綜合法為主，選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn)。反證法僅作為客觀(guān)題的判斷方法不會(huì)單獨(dú)命題。

b案

一、直接證明

1.定義：直接證明是從___________或___________出發(fā)的，根據(jù)已知的_________、________________，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。

2.直接證明的方法：______________與________________。

二、綜合法

1.定義：綜合法是從___________推導(dǎo)到______________的思維方法。具體地說(shuō)，綜合法 從__________除法，經(jīng)過(guò)逐步的___________，最后達(dá)到_______________。

? ?

? ? ?

三、

1.定義：分析法是從__________追溯到__________的思維方法，具體地說(shuō)，分析法是從________出發(fā)，一步一步尋

求結(jié)論成立的____________，最后達(dá)到

_________或__________。

?

? ? ? ?

四、反證法的定義

由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?p?r?????t,t與_________矛盾，或與某個(gè)________矛盾，從而判定_________，推出___________的方法，叫做反證法。

預(yù)習(xí)檢測(cè)：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

a.|x?y|?|x?y|≥2b.x??1?x?yd.|x|?|y|

ln2ln3ln5,b?,c?，則（）23

5a.a?b?cb.c?b?ac.c?a?bd.b?a?c 2.若a?

3.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（）

a.有兩個(gè)內(nèi)角是直角

b.有三個(gè)內(nèi)角是直角

c.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角

d.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角

4.a?b?c?d的必要不充分條件是（）

a.a?cb.b?dc.a?c且b?dd.a?c或b?d

5.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”的反證法設(shè)為（）

a.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)b.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

c.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)是偶數(shù)d.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)

6.已知a是整數(shù)，a2為偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)。

c案

一、綜合法

例1求證：12

3log19?log19?19?

253log2

2.已知n是大于1的自然數(shù)，求證：log(n?1)?log(n?2)

n(n?1)

二、分析法

例2．求證??

2變式突破： 已知a,b,c表示三角形的三邊，m?0,求證：

三、反證法：

例3．（1）證明：2不是有理數(shù)。

變式突破：若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?

求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.2abc?? a?mb?mc?m?2,b?y2?2z??3,c?z2?2x??6.當(dāng)堂檢測(cè)：

1.“x?

0”是“?0”成立的（）

a.充分非必要條件 b.必要非充分條件 c.非充分非必要條件 d.充要條件

2.設(shè)a?log54，b?(log53)2，c?log45，則（）

a.a?c?bb.b?c?ac.a?b?cd.b?a?c

3.設(shè)x,y,z?r?，a?x?111,b?y?,c?z?，則a,b,c三數(shù)（）yzx

a.至少有一個(gè)不大于2b.都小于2c.至少有一個(gè)不小于2d.都大于

22224.若下列方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0，x?2ax?2a?0至少有2

一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

a案

1.a、b為△abc的內(nèi)角，∠a＞∠b是sina?sinb的（）

a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件

2.若向量a?(x,3)(x?r)，則“x?4”是“|a|?5”的（）

a.充分不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件d.既不充分又不必要條件

3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，sn是它的前n項(xiàng)的和，若a2?a3?2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為5，則s5=（）a.35b.33c.31d.29

44.定義在r上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy(x,y?r)，f(1)?2，則f(?2)等于（）a.2b.3c.6d.9

5.分析法證明問(wèn)題是從所證命題的結(jié)論出發(fā)，尋求使這個(gè)結(jié)論成立的（）

a.充分條件b.必要條件c.重要條件d.既非充分條件又非必要條件

6.下面四個(gè)不等式：①a?b?c≥ab?bc?ca；②a(1?a)≤2221ba；③?≥2； 4ab

④(a2?b2)?(c2?d2)≥(ac?bd)2，其中恒成立有（）a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè)

7.若x,y?0且x?y?2，則1?y1?x1?y1?x和的值滿(mǎn)足（）a.和的中至少xxyy

有一個(gè)小于2b.1?y1?x1?y1?x和都小于2c.和都大于2d.不確定 xxyy

8.已知?、?為實(shí)數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：

①???0；②|???|?

5；③|?|??|?個(gè)論斷為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的命題是______________。

9.設(shè)a?0,b?0,c?0，若a?b?c?1，則

111??≥______________。abc