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小學奧數基本公式篇一
小學奧數
第1講 歸一問題與歸總問題 第2講 年齡問題
第3講 雞兔同籠問題與假設法 第1講 歸一問題與歸總問題
在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產量、單位時間所走的路程等。
例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）
分析：以一根鋼軌的重量為單一量。
（1）一根鋼軌重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根鋼軌？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根鋼軌。
例2 王家養了5頭奶牛，7天產牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
分析：以1頭奶牛1天產的牛奶為單一量。
（1）1頭奶牛1天產奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可產牛奶2160千克。
例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？
分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。
（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？
25600÷320÷8=10（時）。
綜合列式為
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。
例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。現在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。
（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？
336÷4÷7=12（噸）。
（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？
420÷12÷5＝7（輛）。
（3）需要增加多少輛卡車？
7-4＝3（輛）。
綜合列式為
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。
與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據其它條件求出結果。所謂“總量”是指總路程、總產量、工作總量、物品的總價等。
例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？
分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？
15×8＝120（時）。
（2）12個人完成這項工程需要多少小時？
120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。
答：12人需10時完成。
例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？
分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。
（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4時到達，每小時需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小時多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小時需要多行15千米。
例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？
60×80＝4800（勞動日）。
（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？
4800-60×20=3600（勞動日）。
（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
練習11
1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？
2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？
3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？
4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？
5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？
6．食堂管理員去農貿市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調后是每千克多少元？
7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？
第2講 年齡問題
年齡問題是一類以“年齡為內容”的數學應用題。
年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關系隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。
根據題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。
例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是
30＋5=35（歲）。
例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是
（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。
由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。
小學奧數基礎教程（四年級）例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？
分析與解：根據題意，作示意圖如下：
由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到
弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。
例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數與弟弟今年的歲數相同，那一年哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數是弟弟的歲數2倍的那一年，若把弟弟歲數看成一份，那么哥哥的歲數比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數與今年弟弟歲數相等，所以今年弟弟歲數為2份，今年哥哥歲數為2＋1=3（份）（見下頁圖）。
由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數為
55÷(3+2)×3=33(歲)。
例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？
小學奧數基礎教程（四年級）分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。
例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？
分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。
父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由
1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于
1994——36＝1958（年）。
例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？
解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。
事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據剛才的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。
解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。
20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由
1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡之和？
分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡的和。
練習12
1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？
2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？
3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？
4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現在各多少歲？
5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？
6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？
7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？
8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經42歲了。”你能算出劉老師有多少歲嗎？
第3講 雞兔同籠問題與假設法
雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。
例1 小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？
分析：假設16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況多了44-32＝12（只）腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那么每換一只，頭的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只雞。
當然，我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數目不變，腳數減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數。
有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。
例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？
分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。
假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。
在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？
分析與解：我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。
假設買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以
買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？
分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200——20=180（只）。
現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小學奧數基礎教程（四年級）
有雞100——30=70（只）。
答：有雞70只，兔30只。
例5 現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？
分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。
答：有大瓶20個，小瓶30個。
例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？
分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。
利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。
答：這批鋼材有720噸。
例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？
分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。
小學奧數基礎教程（四年級）搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？
分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小樂每分鐘跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳
780——270×2＝240（下）。練習13
1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？
2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？
3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？
4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？
5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？
6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？
7．振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？
8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？ 10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？
高冠軍，所以由（1）知乙不是數學博士。將上面的結論依次填入上表，便得到下表：
所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數學博士和大作家。
例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業是工人、農民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；
（2）在北京工作的不是教師；
（3）在上海工作的是工人；
（4）席輝不是農民。
問：這三人各住哪里？各是什么職業？
小學奧數基礎教程（四年級）分析與解：與前面的例題相比，這道題的關系要復雜一些，要求我們通過推理，弄清人物、工作地點、職業三者之間的關系。三者的關系需要兩兩構造三個表，即人物與地點，人物與職業，地點與職業三個表。
我們先將題目條件中所給出的關系用下面的表來表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。
因為各表中，每行每列只能有一個“√”，所以表（3）可填全為表（4）。
因為席輝不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席輝不是工人，他又不是農民，所以席輝是教師。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。至此，表1可填全為表5。
對照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農民。
小學奧數基本公式篇二
綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
小學奧數基礎教程
第1講 速算與巧算
（一）第2講 速算與巧算
（二）第3講 高斯求和
第4講 4，8，9整除的數的特征 第5講 棄九法
第6講 數的整除性
（二）第7講 找規律
（一）第8講 找規律
（二）第9講 數字謎
（一）第10講 數字謎
（二）第11講 歸一問題與歸總問題 第12講 年齡問題
第13講 雞兔同籠問題與假設法 第14講 盈虧問題與比較法
（一）第15講 盈虧問題與比較法
（二）第16講 數陣圖
（一）第17講 數陣圖
（二）第18講 數陣圖
（三）第19將 乘法原理 第20講 加法原理
（一）第21講 加法原理
（二）第22講 還原問題
（一）第23講 還原問題
（二）第24講 頁碼問題 第25講 智取火柴 第26講 邏輯問題
（一）第27講 邏輯問題
（二）第28講 最不利原則 第29講 抽屜原理
（一）第30講 抽屜原理
（二）綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程第1講 速算與巧算
（一）計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。
我們在三年級已經講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數法和乘法的補同與同補速算法。
例1 四年級一班第一小組有10名同學，某次數學測驗的成績（分數）如下：
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求這10名同學的總分。
分析與解：通常的做法是將這10個數直接相加，但這些數雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數不難發現，這些數雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當的數作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數與80的差如下：
6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數比80小。于是得到
總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）
＝800＋9＝809。
實際計算時只需口算，將這些數與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：
通過口算，得到差數累加為9，再加上80×10，就可口算出結果為809。
例1所用的方法叫做加法的基準數法。這種方法適用于加數較多，而且所有的加數相差不大的情況。作為“基準”的數（如例1的80）叫做基準數，各數與基準數的差的和叫做累計差。由例1得到：
總和數=基準數×加數的個數+累計差，平均數=基準數+累計差÷加數的個數。
在使用基準數法時，應選取與各數的差較小的數作為基準數，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數與加數個數的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數應盡量選取整
十、整百的數。
例2 某農場有10塊麥田，每塊的產量如下（單位：千克）：
462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產量。解：選基準數為450，則
累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
＝50，平均每塊產量=450＋50÷10＝455（千克）。
答：平均每塊麥田的產量為455千克。
求一位數的平方，在乘法口訣的九九表中已經被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數的平方，大多數同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數與最接近的整十數的差，通過移多補少，將所求數轉化成一個整十數乘以另一數，再加上零頭的平方數。下面通過例題來說明這一方法。例3 求292和822的值。解：292=29×29
＝（29＋1）×（29-1）＋12
＝30×28＋1
＝840+1
＝841。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
822＝82×82
＝（82－2）×（82＋2）＋2＝80×84＋4
＝6720+4
＝6724。
由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數相乘，所以對其中一個數“移多補少”后，還需要在另一個數上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數的平方。
由湊整補零法計算352，得
35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數是5的數的平方的速算方法結果相同。
這種方法不僅適用于求兩位數的平方值，也適用于求三位數或更多位數的平方值。例4 求9932和20042的值。解：9932=993×993
＝（993＋7）×（993-7）+72
＝1000×986＋49
＝986000＋49
＝986049。
20042=2004×2004
＝（2004-4）×（2004+4）＋42
＝2000×2008＋16
＝4016000＋16
＝4016016。
下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。
請看下面的算式：
66×46，73×88，19×44。
這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數都是兩位數，一個因數的十位數與個位數相同，另一因數的十位數與個位數之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例5 88×64＝？
分析與解：由乘法分配律和結合律，得到
88×64
＝（80＋8）×（60＋4）
＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4
＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4
＝80×（60＋6＋4）＋8×4
＝80×（60＋10）＋8×4
＝8×（6＋1）×100+8×4。
于是，我們得到下面的速算式：
由上式看出，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數是“個位與十位相同的因數”的十位數與“個位與十位之和為10的因數”的十位數加1的乘積，本例為8×（6＋1）。例6 77×91＝？
解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
由上式看出，當兩個因數的個位數之積是一位數時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。
用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數的乘法計算。練習1
1.求下面10個數的總和：
165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
2.農業科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：
26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。
3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數分別為：
68，91，84，75，78，81，83，72，79。
他們共加工了多少個零件？
4.計算：
13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
5.計算下列各題：
（1）372；（2）532；（3）912；
（4）682：（5）1082；（6）3972。
6.計算下列各題：
（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。
練習1 答案
1.1596。2.26厘米。
3.711個。4.147。
5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；
（4）4624；（5）11664；（6）157609。
6.（1）2156；（2）3630；（3）627；
（4）3608；（5）1221；（6）4554。第2講 速算與巧算
（二）上一講我們介紹了一類兩位數乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。
兩個數之和等于10，則稱這兩個數互補。在整數乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數與乘數的十位數字相同或互補，或被乘數與乘數的個位數字相同或互補的情況。72×78的被乘數與乘數的十位數字相同、個位數字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26×86的被乘數與乘數的十位數字互補、個位數字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。
例1（1）76×74＝？（2）31×39＝？
分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。
（1）由乘法分配律和結合律，得到 76×74 ＝（70＋6）×（70+4）
＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：
（2）與（1）類似可得到下面的速算式：
由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積（不夠兩位時前面補0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數是被乘數（或乘數）的十位數與十位數加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是： 積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。
我們在三年級時學到的15×15，25×25，?，95×95的速算，實際上就是“同補”速算法。
例2（1）78×38＝？（2）43×63＝？
分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結合律，得到
78×38 ＝（70＋8）×（30＋8）
＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：
（2）與（1）類似可得到下面的速算式：
由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積（不夠兩位時前面補0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數是兩個因數的十位數之積加上被乘數（或乘數）的個位數。“補同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。
例1和例2介紹了兩位數乘以兩位數的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數和乘數多于兩位時，情況會發生什么變化呢？
我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數的和是10，100，1000，?時，這兩個數互為補數，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。
在一個乘法算式中，當被乘數與乘數前面的幾位數相同，后面的幾位數互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數與乘數的綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程前兩位數相同，都是70，后兩位數互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。
當被乘數與乘數前面的幾位數互補，后面的幾位數相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補同”型。
在計算多位數的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3（1）702×708=？（2）1708×1792＝？ 解：（1）
（2）
計算多位數的“同補”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數之積作為乘積的后幾位。
注意：互補數如果是n位數，則應占乘積的后2n位，不足的位補“0”。
在計算多位數的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例4 2865×7265＝？
解：
練習2
計算下列各題：
1.68×62； 2.93×97；
3.27×87； 4.79×39；
5.42×62； 6.603×607；
7.693×607； 8.4085×6085。第3講 高斯求和
德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：
1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？
老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發現：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數列”的求和問題。
若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項之差稱為公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，?，100；
（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。
其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。
由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式： 和=（首項+末項）×項數÷2。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？
分析與解：這串加數1，2，3，?，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。由等差數列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？
分析與解：這串加數11，12，13，?，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差數列求和公式時，有時項數并不是一目了然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系，可以得到 項數=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數-1）。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？
分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數列，項數=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。解：末項=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式，可以解決各種與等差數列求和有關的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？
分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。
解：（1）最大三角形面積為
（1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。
2）火柴棍的數目為
3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？
分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10）＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
綜合列式為：
（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
練習3
1.計算下列各題：
（1）2＋4＋6＋?＋200；
（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。
2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。
3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。
4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等于該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？
5.求100以內除以3余2的所有數的和。
6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？
第四講
我們在三年級已經學習了能被2，3，5整除的數的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數的特征。
數的整除具有如下性質： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性質3 如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：
（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。
（2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。
（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。
（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。
（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。
（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被4（或25）整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的后兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的后兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。
類似地可以證明（5）。
（6）的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。
837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。
利用（4）（5）（6）還可以求出一個數除以4，8，9的余數：（4‘）一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。（5＇）一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。（6＇）一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數有7756，3728，8064；
能被8整除的數有3728，8064； 能被9整除的數有234，8865，8064。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例2 在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。
例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。
解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。例4 五位數分析與解：已知以能被72整除，問：a與b各代表什么數字？
能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質數，所既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要求綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程能被8整除，由此可確定b＝6。再根據能被9整除的數的特征，的各位數字之和為
a＋3＋2＋9＋b＝a＋3－f－2＋9＋6＝a＋20，因為l≤a≤9，所以21≤a＋20≤29。在這個范圍內只有27能被9整除，所以a＝7。
解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論b和a所代表的數字。在解題順序上，應先確定b所代表的數字，因為b代表的數字不受a的取值大小的影響，一旦b代表的數字確定下來，a所代表的數字就容易確定了。例5 六位數是6的倍數，這樣的六位數有多少個？
分析與解：因為6＝2×3，且2與3互質，所以這個整數既能被2整除又能被3整除。由六位數能被2整除，推知a可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數能被3整除，推知 3＋a＋b＋a＋b＋a＝3＋3a＋2b
能被3整除，故2b能被3整除。b可取0，3，6，9這4個值。由于b可以取4個值，a可以取5個值，題目沒有要求a≠b，所以符合條件的六位數共有5×4＝20（個）。例6 要使六位數表什么數字？
分析與解：因為36＝4×9，且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數此c可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使
這個六位數盡可能小。因此首先是a的能被4整除，就要
能被4整除，因
能被36整除，而且所得的商最小，問a，b，c各代盡量小，其次是b盡量小，最后是c盡量小。先試取a=0。六位數綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程各位數字之和為12＋b＋c。它應能被9整除，因此b＋c＝6或b＋c＝15。因為b，c應盡量小，所以b＋c＝6，而c只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取b＝1，c＝5。
當a=0，b=1，c＝5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。練習4
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數整除？
2．個位數是5，且能被9整除的三位數共有多少個？
3．一些四位數，百位上的數字都是3，十位上的數字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數中，最大的和最小的各是多少？
4．五位數能被12整除，求這個五位數。
5．有一個能被24整除的四位數□23□，這個四位數最大是幾？最小是幾？
6．從0，2，3，6，7這五個數碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數字的四位數？
7．在123的左右各添一個數碼，使得到的五位數能被72整除。
8．學校買了72只小足球，發票上的總價有兩個數字已經辨認不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法
從第4講知道，如果一個數的各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數能被9整除；如果一個數各個數位上的數字之和被9除余數是幾，那么這個數被9除的余數也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數能否被9整除或者求出被9除的余數是幾。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例如，3645732這個數，各個數位上的數字之和為
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數不能被9整除，且被9除后余數為3。
但是，當一個數的數位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？
因為我們只是判斷這個式子被9除的余數，所以凡是若干個數的和是9時，就把這些數劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數除以9的余數是3。
這種將和為9或9的倍數的數字劃掉，用剩下的數字和求除以9的余數的方法，叫做棄九法。
一個數被9除的余數叫做這個數的九余數。利用棄九法可以計算一個數的九余數，還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數764582***15除以9的余數。分析與解：利用棄九法，將和為9的數依次劃掉。
只剩下7，6，1，5四個數，這時口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數除以9余1。例2 將自然數1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數***3?如果一直寫到自然數100，那么所得的數除以9的余數是多少？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知
1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數中，個位數有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。這樣在這個大數中，除了0以外，只剩下最后的100中的數字1。所以這個數除以9余1。
在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以9的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數除以9余1。
例3 檢驗下面的加法算式是否正確：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8，4，6，8+4+6的九余數為0；和的九余數為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：
7832145-2167953＝5664192。
分析與解：被減數的九余數減去減數的九余數（若不夠減，可在被減數的九余數上加9，然后再減）應當等于差的九余數。如果不等，那么這個減綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程法計算肯定不正確。上式中被減數的九余數是3，減數的九余數是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數是6。等號右邊的九余數也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。
值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數可能有相同的九余數。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。
例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：
46876×9537＝447156412。
分析與解：兩個因數的九余數相乘，所得的數的九余數應當等于兩個因數的乘積的九余數。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數的九余數是4，乘數的九余數是6，4×6＝24，24的九余數是6。乘積的九余數是7。6≠7，所以這個算式不正確。
說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數=除數×商+余數，所以當余數為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。練習5
1．求下列各數除以9的余數：
（1）7468251；（2）36298745；
（3）2657348；（4）6678254193。
2．求下列各式除以9的余數：
（1）67235＋82564；（2）97256-47823； 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
（3）2783×6451；（4）3477+265×841。
3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：
（1）228×222＝50616；
（2）334×336＝112224；
（3）23372428÷6236＝3748；
（4）12345÷6789＝83810105。
4．有一個2000位的數a能被9整除，數a的各個數位上的數字之和是b，數b的各個數位上的數字之和是c，數c的各個數位上的數字之和是d。求d。
第6講 數的整除性
（二）這一講主要講能被11整除的數的特征。
一個數從右邊數起，第1，3，5，?位稱為奇數位，第2，4，6，?位稱為偶數位。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數位，十位、千位、十萬位??是偶數位。例如9位數768325419中，奇數位與偶數位如下圖所示：
能被11整除的數的特征：一個數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大數減小數）如果能被11整除，那么這個數就能被11整除。例1 判斷七位數1839673能否被11整除。
分析與解：奇數位上的數字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數位上的數字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根據能被11整除的數的特征，也能求出一個數除以11的余數。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
一個數除以11的余數，與它的奇數位上的數字之和減去偶數位上的數字之和所得的差除以11的余數相同。如果奇數位上的數字之和小于偶數位上的數字之和，那么應在奇數位上的數字之和上再增加11的整數倍，使其大于偶數位上的數字之和。例2 求下列各數除以11的余數：
（1）41873；（2）296738185。
分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0??7，所以41873除以11的余數是7。
（2）奇數位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應給17增加11的整數倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余數是7。
需要說明的是，當奇數位數字之和遠遠小于偶數位數字之和時，為了計算方便，也可以用偶數位數字之和減去奇數位數字之和，再除以11，所得余數與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1??4，所求余數是11-4=7。例3 求除以11的余數。
分析與解：奇數位是101個1，偶數位是100個9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72??7，11-7=4，所求余數是4。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數位上的數字相差9-1＝8，奇數位上的數字和與偶數位上的數字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當于求最后三位數191除以11的余數。例4 用3，3，7，7四個數碼能排出哪些能被11整除的四位數？ 解：只要奇數位和偶數位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。
例5 用1～9九個數碼組成能被11整除的沒有重復數字的最大九位數。分析與解：最大的沒有重復數字的九位數是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。為了保證這個數盡可能大，我們盡量調整低位數字，只要使奇數位的數字和增加3（偶數位的數字和自然就減少3），奇數位的數字之和與偶數位的數字之和的差就變為5＋3×2=11，這個數就能被11整除。調整“4321”，只要4調到奇數位，1調到偶數位，奇數位就比原來增大3，就可達到目的。此時，4，3在奇數位，2，1在偶數位，后四位最大是2413。所求數為987652413。例6 六位數能被99整除，求a和b。
分析與解：由99=9×11，且9與11互質，所以六位數既能被9整除又能被11整除。因為六位數能被9整除，所以
a+2+8+7+5+b
＝22+a+b
應能被9整除，由此推知a＋b＝5或14。又因為六位數能被11整除，所以
（a＋8＋5）－（2＋7＋b）綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
＝a-b＋4
應能被11整除，即
a-b+4=0或a-b+4=11。
化簡得b-a＝4或a-b＝7。
因為a+b與a-b同奇同偶，所以有
在（1）中，a≤5與a≥7不能同時滿足，所以無解。
在（2）中，上、下兩式相加，得
（b＋a）＋（b-a）＝14＋4，2b＝18，b=9。
將b=9代入a＋b=14，得a＝5。
所以，a=5，b＝9。
練習6
1．為使五位數6□295能被11整除，□內應當填幾？
2．用1，2，3，4四個數碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數字的四位數？
3．求能被11整除的最大的沒有重復數字的五位數。
4．求下列各數除以11的余數：
（1）2485；（2）63582；（3）987654321。
5．求
6．六位數除以11的余數。
5a634b能被33整除，求a+b。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
7．七位數3a8629b是88的倍數，求a和b。
第7講 找規律
（一）我們在三年級已經見過“找規律”這個題目，學習了如何發現圖形、數表和數列的變化規律。這一講重點學習具有“周期性”變化規律的問題。什么是周期性變化規律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規律。再比如，數列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數重復出現的，這也是周期性變化問題。
下面，我們通過一些例題作進一步講解。
例1 節日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。問：
（1）第100盞燈是什么顏色？
（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？
分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環出現。
（1）100÷12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。
（2）150÷12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例2 有一串數，任何相鄰的四個數之和都等于25。已知第1個數是3，第6個數是6，第11個數是7。問：這串數中第24個數是幾？前77個數的和是多少？
分析與解：因為第1，2，3，4個數的和等于第2，3，4，5個數的和，所以第1個數與第5個數相同。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數都相同。
同理，第2，6，10，14，?個數都相同，第3，7，11，15，?個數都相同，第4，8，12，16?個數都相同。
也就是說，這串數是按照每四個數為一個周期循環出現的。所以，第2個數等于第6個數，是6；第3個數等于第11個數，是7。前三個數依次是3，6，7，第四個數是
25-（3+6+7）=9。
這串數按照3，6，7，9的順序循環出現。第24個數與第4個數相同，是9。由77÷4＝9??1知，前77個數是19個周期零1個數，其和為25×19+3=478。
例3 下面這串數的規律是：從第3個數起，每個數都是它前面兩個數之和的個位數。問：這串數中第88個數是幾？
628088640448?
分析與解：這串數看起來沒有什么規律，但是如果其中有兩個相鄰數字與前面的某兩個相鄰數字相同，那么根據這串數的構成規律，這兩個相鄰數字后面的數字必然與前面那兩個相鄰數字后面的數字相同，也就是說將出現周期性變化。我們試著將這串數再多寫出幾位：
綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發現，它們與第1，2位數相同，所以這串數按每20個數一個周期循環出現。由88÷20=4??8知，第88個數與第8個數相同，所以第88個數是4。
從例3看出，周期性規律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串數中，從第五個數起，每個數都是它前面四個數之和的個位數字。那么在這串數中，能否出現相鄰的四個數是“2000”？
***7134?
分析與解：無休止地將這串數寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發現，這串數的前四個數都是奇數，按照“每個數都是它前面四個數之和的個位數字”，如果不看具體數，只看數的奇偶性，那么將這串數依次寫出來，得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??
可以看出，這串數是按照四個奇數一個偶數的規律循環出現的，永遠不會出現四個偶數連在一起的情況，即不會出現“2000”。
例5 a，b，c，d四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，a，b，c，d四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，a，b，c，d四個盒子中的球數如下表： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經過4人，四個盒子中球的情況重復出現一次。
（100-1）÷4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，a，b，c，d盒中依次有4，6，3，5個球。
練習7
1．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？
2．將1，2，3，4，?除以3的余數依次排列起來，得到一個數列。求這個數列前100個數的和。
3．有一串數，前兩個數是9和7，從第三個數起，每個數是它前面兩個數乘積的個位數。這串數中第100個數是幾？前100個數之和是多少？
4．有一列數，第一個數是6，以后每一個數都是它前面一個數與7的和的個位數。這列數中第88個數是幾？
5．小明按1～3報數，小紅按1～4報數。兩人以同樣的速度同時開始報數，當兩人都報了100個數時，有多少次兩人報的數相同？
6．a，b，c，d四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，a，b，c，d四個盒子中各放有幾個球？
第8講 找規律
（二）整數a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數的平方，記作a2，即a2＝a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即
本講主要講an的個位數的變化規律，以及an除以某數所得余數的變化規律。
因為積的個位數只與被乘數的個位數和乘數的個位數有關，所以an的個位數只與a的個位數有關，而a的個位數只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。
為了找出一個整數a自乘n次后，乘積的個位數字的變化規律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數字各是什么。
從表看出，an的個位數字的變化規律可分為三類：
（1）當a的個位數是0，1，5，6時，an的個位數仍然是0，1，5，6。
（2）當a的個位數是4，9時，隨著n的增大，an的個位數按每兩個數為一周期循環出現。其中a的個位數是4時，按4，6的順序循環出現；a的個位數是9時，按9，1的順序循環出現。
（3）當a的個位數是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數按每四個數為一周期循環出現。其中a的個位數是2時，按2，4，8，6的順序循環出現；a的個位數是3時，按3，9，7，1的順序循環出現；當a的綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程個位數是7時，按7，9，3，1的順序循環出現；當a的個位數是8時，按8，4，2，6的順序循環出現。
例1 求67999的個位數字。
分析與解：因為67的個位數是7，所以67n的個位數隨著n的增大，按7，9，3，1四個數的順序循環出現。
999÷4＝249??3，所以67999的個位數字與73的個位數字相同，即67999的個位數字是3。例2 求291+3291的個位數字。
分析與解：因為2n的個位數字按2，4，8，6四個數的順序循環出現，91÷4＝22??3，所以，291的個位數字與23的個位數字相同，等于8。
類似地，3n的個位數字按3，9，7，1四個數的順序循環出現，291÷4＝72??3，所以3291與33的個位數相同，等于7。
最后得到291+3291的個位數字與8+7的個位數字相同，等于5。例3 求28128-2929的個位數字。
解：由128÷4＝32知，28128的個位數與84的個位數相同，等于6。由29÷2＝14??1知，2929的個位數與91的個位數相同，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數字為16－9＝7。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例4 求下列各除法運算所得的余數：
（1）7855÷5；
（2）555÷3。
分析與解：（1）由55÷4＝13??3知，7855的個位數與83的個位數相同，等于2，所以7855可分解為10×a＋2。因為10×a能被5整除，所以7855除以5的余數是2。
（2）因為a÷3的余數不僅僅與a的個位數有關，所以不能用求555的個位數的方法求解。為了尋找5n÷3的余數的規律，先將5的各次方除以3的余數列表如下：
注意：表中除以3的余數并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數是1，53除以3的余數與1×5=5除以3的余數相同。這是因為52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而
53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數與1×5除以3的余數相同。
由上表看出，5n除以3的余數，隨著n的增大，按2，1的順序循環出現。由55÷2=27??1知，555÷3的余數與51÷3的余數相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？
分析與解：1時后有1×3=31（個）細菌，2時后有31×3=32（個）細菌??20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320÷7的余數”。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數列表如下：
由上表看出，3n÷7的余數以六個數為周期循環出現。由20÷6＝3??2知，320÷7的余數與32÷7的余數相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。
最后再說明一點，an÷b所得余數，隨著n的增大，必然會出現周期性變化規律，因為所得余數必然小于b，所以在b個數以內必會重復出現。
練習8
1．求下列各數的個位數字：
（1）3838；（2）2930；
（3）6431；（4）17215。2．求下列各式運算結果的個位數字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610。3．求下列各除法算式所得的余數：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7 第9講 數字謎
（一）我們在三年級已經學習過一些簡單的數字謎問題。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內容。
例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：
5+7×8+12÷4-2＝20。
分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數，化大為小。
從整個算式來看，7×8是4的倍數，12也是4的倍數，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋17-2=20。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程解：5+（7×8+12）÷4-2=20。
例2 把1～9這九個數字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：
分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：
2×3＝6或2×4＝8，所以應當從乘法算式入手。
因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數相等，所以加法算式中的三個□內的三個數的和是偶數；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內的三個數的和也是偶數。于是可知，原題加減法算式中的六個數的和應該是偶數。
若乘法算式是2×4＝8，則剩下的六個數1，3，5，6，7，9的和是奇數，不合題意；
若乘法算式是2×3＝6，則剩下的六個數1，4，5，7，8，9可分為兩組：
4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；
1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。
所以答案為 與
綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例3 下面的算式是由1～9九個數字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數填入□，使得等式成立：
□□□÷□□=□-□=□-7。
分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數只能填9，由此知左端被除數的百位數只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：
128÷64=5-3=9-7，或 164÷82＝5-3＝9-7。
例4 將1～9九個數字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：
□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。
分析與解：因為每個□中要填不同的數字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為2×4；（2）加式為2+4，乘式為1×8。
對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；
對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：
2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例2～例4都是對題目經過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。
例5 從1～9這九個自然數中選出八個填入下式的八個○內，使得算式的結果盡可能大：
[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。
分析與解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內的結果盡量大，后一個中括號內的結果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：
[a÷b×（c＋d）]-[e×f＋g－h]。
通過分析，a，c，d，h應盡可能大，且a應最大，c，d次之，h再次之；b，e，f，g應盡可能小，且b應最小，e，f次之，g再次之。于是得到a=9，c=8，d=7，h=6，b=1，e=2，f=3，g=4，其中c與d，e與f的值可互換。將它們代入算式，得到
[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。
練習9
1．在下面的算式里填上括號，使等式成立：
（1）4×6+24÷6-5=15；
（2）4×6+24÷6-5=35；
（3）4×6+24÷6-5=48；
（4）4×6+24÷6-5＝0。
2．加上適當的運算符號和括號，使下式成立：
＝100。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
3．把0～9這十個數字填到下面的□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：
□+□=□，□-□=□，□×□=□□。
4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符號，使各個等式成立：
4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。
5．將2～7這六個數字分別填入下式的□中，使得等式成立：
□+□-□=□×□÷□。
6．將1～9分別填入下式的九個□內，使算式取得最大值：
□□□×□□□×□□□。
7．將1～8分別填入下式的八個□內，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。
第10講 數字謎
（二）例1 把下面算式中缺少的數字補上：
分析與解：一個四位數減去一個三位數，差是一個兩位數，也就是說被減數與減數相差不到100。四位數與三位數相差不到100，三位數必然大于900，四位數必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數上。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
（1）填百位與千位。由于被減數是四位數，減數是三位數，差是兩位數，所以減數的百位應填9，被減數的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。
（2）填個位。由于被減數個位數字是0，差的個位數字是1，所以減數的個位數字是9。
（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數十位上的實際數值是18，18分解成兩個一位數的和，只能是9與9，因此，減數與差的十位數字都是9。
所求算式如右式。
由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。
例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求出這兩個算式：
分析與解：（1）這是一道四個數連加的算式，其特點是相同數位上的數字相同，且個位與百位上的數字相同，即都是漢字“學”。
從個位相同數相加的情況來看，和的個位數字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。
如果“學”＝2，那么要使三個“數”所代表的數字相加的和的個位數字為8，“數”只能代表數字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
如果“學”＝7，那么要使三個“數”所代表的數字相加再加上個位進位的2，和的個位數字為8，“數”只能代表數字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數字3。
滿足條件的解如右式。
（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。
滿足條件的算式如右下式。
例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比較。
例3 下面豎式中每個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字，求被乘數。
分析與解：由于個位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。
下面采用逐一試驗的方法求解。
（1）若“賽”＝2，則“數”＝4，積=444444。被乘數為444444÷2＝222222，而被乘數各個數位上的數字各不相同，所以“賽”≠2。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
（2）若“賽”＝3，則“數”=9，仿（1）討論，也不行。
（3）若“賽”＝4，則“數”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數商，不合題意。
（4）若“賽”＝7，則“數”＝9，積=999999。被乘數為999999÷7＝142857，符合題意。
（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。
所以，被乘數是142857。
例4 在□內填入適當的數字，使左下式的乘法豎式成立。
分析與解：為清楚起見，我們用a，b，c，d，?表示□內應填入的數字（見右上式）。
由被乘數大于500知，e=1。由于乘數的百位數與被乘數的乘積的末位數是5，故b，c中必有一個是5。若c＝5，則有
6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以b=5。再由b=5推知g=0或5。若g=5，則f=a=9，此時被乘數為695，無論c為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以g=0，f=a=4。此時已求出被乘數是645，經試驗只有645×7滿足□5□5，所以c=7；最后由b=5，g=0知d為偶數，經試驗知d=2。
右式為所求豎式。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
此類乘法豎式題應根據已給出的數字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數，再依次填其余未知數。有時某未知數有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。
例5 在□內填入適當數字，使左下方的除法豎式成立。
分析與解：把左上式改寫成右上式。根據除法豎式的特點知，b=0，d=g=1，e=f=h=9，因此除數應是99的兩位數的約數，可能取值有11，33和99，再由商的個位數是5以及5與除數的積是兩位數得到除數是11，進而知a＝c-9。至此，除數與商都已求出，其余未知數都可填出（見右式）。
此類除法豎式應根據除法豎式的特點，如商的空位補0、余數必須小于除數，以及空格間的相互關系等求解，只要求出除數和商，問題就迎刃而解了。
例6 把左下方除法算式中的*號換成數字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數字不一定相同）。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數字“*”是0，即商為。
因為除數與8的積是兩位數，除數與商的千位數字的積是三位數，知商的千位數是9，即商為9807。
因為“除數×9”是三位數，所以除數≥12；又因為“除數×8”是兩位數，所以除數≤12。推知除數只能是12。被除數為9807×12＝117684。
除法算式如上頁右式。練習10
1．在下面各豎式的□內填入合適的數字，使豎式成立：
2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。問：“小”代表什么數字？
3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數字相同的漢字代表相同的數字。求出下列各式： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數字，不同的字母代表不同的數字。這些算式中各字母分別代表什么數字？
第11講 歸一問題與歸總問題
在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產量、單位時間所走的路程等。
例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）
分析：以一根鋼軌的重量為單一量。
（1）一根鋼軌重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根鋼軌？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根鋼軌。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例2 王家養了5頭奶牛，7天產牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
分析：以1頭奶牛1天產的牛奶為單一量。
（1）1頭奶牛1天產奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可產牛奶2160千克。
例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？
分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。
（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？
25600÷320÷8=10（時）。
綜合列式為
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。
例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。現在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。
（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？
336÷4÷7=12（噸）。
（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
420÷12÷5＝7（輛）。
（3）需要增加多少輛卡車？
7-4＝3（輛）。
綜合列式為
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。
與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據其它條件求出結果。所謂“總量”是指總路程、總產量、工作總量、物品的總價等。
例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？
分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？
15×8＝120（時）。
（2）12個人完成這項工程需要多少小時？
120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。
答：12人需10時完成。
例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？
分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。
（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4時到達，每小時需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小時多行多少千米？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小時需要多行15千米。
例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？
60×80＝4800（勞動日）。
（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？
4800-60×20=3600（勞動日）。
（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
練習11
1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？
2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？
3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？
4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？
6．食堂管理員去農貿市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調后是每千克多少元？
7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？
第12講 年齡問題
年齡問題是一類以“年齡為內容”的數學應用題。
年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關系隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。
根據題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。
例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是
30＋5=35（歲）。
例2 今年爸爸48歲
小學奧數基本公式篇三
公式法計算
知識點撥
一、常用公式
1.；
2.；
3.；
4.；
5.等比數列求和公式：()；
6.平方差公式：；
7.完全平方公式：，；
用文字表述為：兩數和(或差)的平方，等于這兩個數的平方和，加上(或者減去)這兩個數的積的倍，兩條公式也可以合寫在一起：．為便于記憶，可形象的敘述為：“首平方，尾平方，倍乘積在中央”．
二、常用技巧
1.；
2.；
3.，，，；
4.，其中．
例題精講
一、前項和
【例
1】
【考點】公式法之求和公式
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
2】
計算：
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
3】
計算：
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：___________．
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
與公式相比，缺少偶數項，所以可以先補上偶數項．
原式
【答案】
【例
4】
計算：
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
原式
【答案】
【例
5】
計算：。
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【關鍵詞】西城實驗
【解析】
原式
其中也可以直接根據公式得出
【答案】
【例
6】
計算：
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
分拆
()，()再用公式
原式
【答案】
【例
7】
對自然數和，規定，例如，那么：
⑴
______________；
⑵
______________．
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
⑴
原式
⑵
原式
【答案】⑴
⑵
【鞏固】
看規律，……，試求
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】人大附中
【解析】
原式
【答案】
【例
8】
計算：
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
法一：利用等比數列求和公式。
原式
法二：錯位相減法．
設
則，整理可得．
法三：本題與例3相比，式子中各項都是成等比數列，但是例3中的分子為3，與公比4差1，所以可以采用“借來還去”的方法，本題如果也要采用“借來還去”的方法，需要將每一項的分子變得也都與公比差1．由于公比為3，要把分子變為2，可以先將每一項都乘以2進行算，最后再將所得的結果除以2即得到原式的值．
由題設，則運用“借來還去”的方法可得到，整理得到．
【答案】
【例
9】
計算的值。（已知，，，，）
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
注意到式子的特點是從第一個加數開始，每一個加數比前一個加數的指數減少，的指數增加.所以每一個加數是前一個加數的倍，如果將題中加數按原來的順序排列起來就是一個公比為的等比數列，于是按照錯位減法進行運算即可。
記,，那么，即原式的值為.【答案】
【例
10】
．
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【關鍵詞】浙江省，小學數學活動課夏令營
【解析】
原式
【答案】
【解析】
計算：
．
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
原式
【答案】
【解析】
【考點】公式法之求和公式
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
原式
【答案】
【例
11】
計算：
【考點】公式法之求和公式
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
設算式的值為，那么，即，故，則，所以，．
【答案】
二、平方差與完全平方公式
【例
12】
⑴________；
⑵________．
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】2星
【題型】填空
【關鍵詞】浙江省，小學數學活動課夏令營
【解析】
⑴
觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1，設，原式
⑵
原式
【答案】⑴
⑵
【鞏固】
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】2星
【題型】填空
【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽
【解析】
方法一：原式
方法二：原式
【答案】
【鞏固】
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】2星
【題型】填空
【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：＝。
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】3星
【題型】填空
【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽
【解析】
題目分析：答案為100000。記原式為x，則
10x=314×314+628×686+686×686
=3142+2×314×686+6862
=(314+686)2=1000000，所以，x=100000。
【答案】
【例
13】
有一串數，，，……它們是按一定規律排列的，那么其中第個數與第個數相差多少？
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】2星
【題型】填空
【解析】
這串數中第個數是，而第個數是，它們相差
【答案】
【鞏固】
代表任意數字，若，這個公式在數學上稱為平方差公式．根據公式，你來巧算下列各題吧．
⑴
⑵⑶
⑷
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
這個公式可以給我們的計算帶來很多便利,在以后的奧數學習中會經常遇到,同學們最好記住哦.我們就依據公式來進行下面的計算:
⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴
⑵
⑶
⑷
【例
14】
計算：
．
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】3星
【題型】填空
【關鍵詞】迎春杯，中年級組，決賽
【解析】
本題可以直接計算出各項乘積再求和，也可以采用平方差公式．
原式
其中可以直接計算，但如果項數較多，應采用公式
進行計算．
【答案】
【例
15】
．
【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式
【難度】2星
【題型】填空
【關鍵詞】迎春杯，初賽
【解析】
原式
【答案】
三、公式綜合運用
【例
16】
計算：
．
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】填空
【關鍵詞】仁華學校
【解析】
觀察可知式子中每一項乘積的被乘數與乘數依次成等差數列，被乘數依次為1，3，5，……，99，乘數依次為4，7，10，……，151，根據等差數列的相關知識，被乘數可以表示為，乘數可以表示為，所以通項公式為．所以，原式
另解：如果不進行通項歸納，由于式子中每一項的被乘數與乘數的差是不相等，可以先將這個差變為相等再進行計算．
原式
而和都是我們非常熟悉的．，所以原式
小結：從上面的計算過程中可以看出，而，所以有
【答案】
【例
17】
計算：
．
【考點】公式法之綜合運用
【難度】4星
【題型】填空
【解析】，所以，所以原式
【答案】
【例
18】
計算：
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】北京二中，入學測試
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
這個題目重新整理得：
【答案】
【鞏固】
計算：．
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
做這道題的時候，可能有些以前記住了20以內平方數的同學就高興了，但是其實并不需要，大家看，利用平方差公式：，，．
于是，原式
【答案】
【例
19】
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
20】
計算：
．
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
．
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
觀察發現式子中每相乘的兩個數的和都是相等的，可以采用平方差公式．
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】填空
【關鍵詞】學而思杯，4年級
【解析】
原式
【答案】
【例
21】
計算：
【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
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【答案】
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計算：
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【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】填空
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【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
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【考點】公式法之綜合運用
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
小學奧數基本公式篇四
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小學數學教學網：小學奧數公式
近年來中國代表在數學奧林匹克上的成績就像中國健兒在奧運會的成績一樣，突飛猛進，從40屆到第43屆，中國代表隊連續四年總分第一。現在為大家整理了一下小學奧數的公式分析。（1）植樹問題
基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹 基本公式 棵數=段數＋1 棵距×段數=總長 棵數=段數－1 棵距×段數=總長 棵數=段數 棵距×段數=總長
關鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系（2）雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來； 基本思路：
①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：
②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少； ③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；
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④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）
②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。（3）盈虧問題
基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于
分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量．
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量． 基本題型：
①一次有余數，另一次不足；
基本公式：總份數＝（余數＋不足數）÷兩次每份數的差 ②當兩次都有余數；
基本公式：總份數＝（較大余數一較小余數）÷兩次每份數的差 ③當兩次都不足；
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基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差
基本特點：對象總量和總的組數是不變的。關鍵問題：確定對象總量和總的組數。
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