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人教版高中數學必修一教學設計篇一

1.知道柱體、錐體、臺體側面展開圖，弄懂柱體、錐體、臺體的表面積的求法.

2.能運用公式求解柱體、錐體和臺體的表面積，并知道柱體、錐體和臺體表面積之間的關系.

2學情分析

通過學習空間幾何體的結構特征，空間幾何體的三視圖和直觀圖，了解了空間幾何體和平面圖形之間的關系，從中反映出一個思想方法，即平面圖形和空間幾何體的互化，尤其是空間幾何問題向平面問題的轉化。該部分內容中有些是學生已經熟悉的，在解決這些問題的過程中，首先要對學生已有的知識進行再認識，提煉出解決問題的一般思想——化歸的思想，總結出一般的求解方法，在此基礎上通過類比獲得解決新問題的思路，通過化歸解決問題，深化對化歸、類比等思想方法的應用。

3重點難點

重點：知道柱體、錐體、臺體側面展開圖，弄懂柱體、錐體、臺體的表面積公式。

難點：會求柱體、錐體和臺體的表面積，并知道柱體、錐體和臺體表面積之間的關系.

4教學過程 4.1 第一學時 教學活動 活動1【導入】第1課時柱體、錐體、臺體的表面積

(一)、基礎自測：

1.棱長為a的正方體表面積為__________.

2.長、寬、高分別為a、b、c的長方體，其表面積為___________________.

3.長方體、正方體的側面展開圖為__________.

4.圓柱的側面展開圖為__________.

5.圓錐的側面展開圖為__________.

(二).嘗試學習

1.柱體的表面積

(1)側面展開圖：棱柱的側面展開圖是____________，一邊是棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的__________，如圖①所示;圓柱的側面展開圖是_______，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長，如圖②所示.

(2)面積：柱體的表面積s表=s側+2s底.特別地，圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則圓柱的側面積s側=__________，表面積s表=__________.

2.錐體的表面積

(1)側面展開圖：棱錐的側面展開圖是由若干個__________拼成的，則側面積為各個三角形面積的_____，如圖①所示;圓錐的側面展開圖是_______，扇形的半徑是圓錐的______，扇形的弧長等于圓錐的__________，如圖②所示.

(2)面積：錐體的表面積s表=s側+s底.特別地，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則圓錐的側面積s側=__________，表面積s表=__________.

3.臺體的表面積

(1)側面展開圖：棱臺的側面展開圖是由若干個__________拼接而成的，則側面積為各個梯形面積的______，如圖①所示;圓臺的側面展開圖是扇環，其側面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積而得到，如圖②所示.

(2)面積：臺體的表面積s表=s側+s上底+s下底.特別地，圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l，則側面積s側=____________，表面積s表=________________________.

(三).互動課堂

例1：在三棱柱abc-a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=a，∠aa1b1=∠aa1c1=60°，∠bb1c1=90°，側棱長為b，則其側面積為()

a. c.(+)ab

例2:(1)若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側面積是()

a.2π b. c.6π d.9π

(2)已知棱長均為5，底面為正方形的四棱錐s-abcd，如圖，求它的側面積、表面積.

例3：一個四棱臺的上、下底面都為正方形，且上底面的中心在下底面的投影為下底面中心(正四棱臺)兩底面邊長分別為1,2，側面積等于兩個底面積之和，則這個棱臺的高為()

a. b.2 c. d.

(四).鞏固練習：

1.一個棱柱的側面展開圖是三個全等的矩形，矩形的長和寬分別為6 cm,4 cm，則該棱柱的側面積為________.

2.已知一個四棱錐底面為正方形且頂點在底面正方形射影為底面正方形的中心(正四棱錐)，底面正方形的邊長為4 cm，高與斜高的夾角為30°，如圖所示，求正四棱錐的側面積________和表面積________(單位：cm2).

3.如圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，則圓臺的側面積為()

a.81π b.100π c.14π d.169π

(五)、 課堂小結：

求柱體表面積的方法

(1)直棱柱的側面積等于它的底面周長和高的乘積;表面積等于它的側面積與上、下兩個底面的面積之和.

(2)求斜棱柱的側面積一般有兩種方法：一是定義法;二是公式法.所謂定義法就是利用側面積為各側面面積之和來求，公式法即直接用公式求解.

(3)求圓柱的側面積只需利用公式即可求解.

(4)求棱錐側面積的一般方法：定義法.

(5)求圓錐側面積的一般方法：公式法：s側=πrl.

(6)求棱臺側面積的一般方法：定義法.

(7)求圓臺側面積的一般方法：公式法s側=2(r+r′)l.

五、當堂檢測

1.(2011·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是()

a.32 b.16+16

c.48 d.16+32 網]

2.(2013·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

a.180 b.200 c.220 d.240

3.(2013廣東)若一個圓臺的正視圖如圖所示，則其側面積等于()

a.6 b.6π c.3π d.6π

六、作業：(1)課時闖關(今晚交)

七、課后反思：本節課你會哪些?還存在哪些問題?

1.3空間幾何體的表面積與體積

課時設計 課堂實錄

1.3空間幾何體的表面積與體積

1第一學時 教學活動 活動1【導入】第1課時柱體、錐體、臺體的表面積

(一)、基礎自測：

1.棱長為a的正方體表面積為__________.

2.長、寬、高分別為a、b、c的長方體，其表面積為___________________.

3.長方體、正方體的側面展開圖為__________.

4.圓柱的側面展開圖為__________.

5.圓錐的側面展開圖為__________.

(二).嘗試學習

1.柱體的表面積

(1)側面展開圖：棱柱的側面展開圖是____________，一邊是棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的__________，如圖①所示;圓柱的側面展開圖是_______，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長，如圖②所示.

(2)面積：柱體的表面積s表=s側+2s底.特別地，圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則圓柱的側面積s側=__________，表面積s表=__________.

2.錐體的表面積

(1)側面展開圖：棱錐的側面展開圖是由若干個__________拼成的，則側面積為各個三角形面積的_____，如圖①所示;圓錐的側面展開圖是_______，扇形的半徑是圓錐的______，扇形的弧長等于圓錐的__________，如圖②所示.

(2)面積：錐體的表面積s表=s側+s底.特別地，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則圓錐的側面積s側=__________，表面積s表=__________.

3.臺體的表面積

(1)側面展開圖：棱臺的側面展開圖是由若干個__________拼接而成的，則側面積為各個梯形面積的______，如圖①所示;圓臺的側面展開圖是扇環，其側面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積而得到，如圖②所示.

(2)面積：臺體的表面積s表=s側+s上底+s下底.特別地，圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l，則側面積s側=____________，表面積s表=________________________.

(三).互動課堂

例1：在三棱柱abc-a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=a，∠aa1b1=∠aa1c1=60°，∠bb1c1=90°，側棱長為b，則其側面積為()

a. c.(+)ab

例2:(1)若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側面積是()

a.2π b. c.6π d.9π

(2)已知棱長均為5，底面為正方形的四棱錐s-abcd，如圖，求它的側面積、表面積.

例3：一個四棱臺的上、下底面都為正方形，且上底面的中心在下底面的投影為下底面中心(正四棱臺)兩底面邊長分別為1,2，側面積等于兩個底面積之和，則這個棱臺的高為()

a. b.2 c. d.

(四).鞏固練習：

1.一個棱柱的側面展開圖是三個全等的矩形，矩形的長和寬分別為6 cm,4 cm，則該棱柱的側面積為________.

2.已知一個四棱錐底面為正方形且頂點在底面正方形射影為底面正方形的中心(正四棱錐)，底面正方形的邊長為4 cm，高與斜高的夾角為30°，如圖所示，求正四棱錐的側面積________和表面積________(單位：cm2).

3.如圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，則圓臺的側面積為()

a.81π b.100π c.14π d.169π

(五)、 課堂小結：

求柱體表面積的方法

(1)直棱柱的側面積等于它的底面周長和高的乘積;表面積等于它的側面積與上、下兩個底面的面積之和.

(2)求斜棱柱的側面積一般有兩種方法：一是定義法;二是公式法.所謂定義法就是利用側面積為各側面面積之和來求，公式法即直接用公式求解.

(3)求圓柱的側面積只需利用公式即可求解.

(4)求棱錐側面積的一般方法：定義法.

(5)求圓錐側面積的一般方法：公式法：s側=πrl.

(6)求棱臺側面積的一般方法：定義法.

(7)求圓臺側面積的一般方法：公式法s側=2(r+r′)l.

五、當堂檢測

1.(2011·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是()

a.32 b.16+16

c.48 d.16+32 網]

2.(2013·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

a.180 b.200 c.220 d.240

3.(2013廣東)若一個圓臺的正視圖如圖所示，則其側面積等于()

a.6 b.6π c.3π d.6π

六、作業：(1)課時闖關(今晚交)

七、課后反思：本節課你會哪些?還存在哪些問題?

人教版高中數學必修一教學設計篇二

一、知識點歸納

(一)空間幾何體的結構特征

(1)多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

旋轉體——把一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。

(2)柱，錐，臺，球的結構特征

1.1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.

2.1棱錐——有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。

2.2圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。

3.1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.

3.2圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

4.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.

(二)空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖——正視圖;側視圖;俯視圖;是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形;畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等

3.直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。

4.斜二測法：在坐標系 中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標軸的線段保持平行性不變，平行于x軸(或在x軸上)的線段保持長度不變，平行于y軸(或在y軸上)的線段長度減半。

(三)空間幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

①棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和

②圓柱的表面積

③圓錐的表面積 ④圓臺的表面積

⑤球的表面積 ⑥扇形的面積公式 (其中 表示弧長， 表示半徑)

2、空間幾何體的體積

①柱體的體積

②錐體的體積

③臺體的體積

④球體的體積

二、練習與鞏固

(1)空間幾何體的結構特征及其三視圖

1.下列對棱柱說法正確的是( )

a.只有兩個面互相平行 b.所有的棱都相等

c.所有的面都是平行四邊形 d.兩底面平行，且各側棱也平行

2.一個等腰三角形繞它的底邊所在的直線旋轉360。形成的曲面所圍成的幾何體是( )

a.球體 b.圓柱 c.圓臺 d.兩個共底面的圓錐組成的組合體

3.下列命題正確的是( )

a.平行與圓錐的一條母線的截面是等腰三角形

b. 平行與圓臺的一條母線的截面是等腰梯形

c. 過圓錐母線及頂點的截面是等腰三角形

d. 過圓臺的一個底面中心的截面是等腰梯形

4.棱臺不具備的特點是( )

a.兩底面相似 b. 側面都是梯形 c. 側棱都相等 d. 側棱延長后交于一點

5.以任意方式截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是( )

a.球體 b.圓柱 c.圓錐 d.圓柱、圓錐及球體的組合體

6.將裝有水的長方體槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是 ( )

a.棱柱 b.棱臺 c.棱柱與棱臺的組合體 d.不能確定

7.下列命題正確的是 ( )

a.矩形的平行投影一定是矩形 b.梯形的平行投影一定是梯形

c.兩條相交直線的平行投影可能平行

d.一條線段中點的平行投影仍是投影線段的中點

8.將等腰三角形繞它的底邊上的高旋轉一周, 形成的幾何體一定是( )

a.圓錐 b.圓柱 c.圓臺 d.上均不正確

9.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是四邊形，這個幾何體可能是( )

a.圓錐 b.圓柱 c. 球體 d. 以上都可能

10.下列圖形中，不是三棱柱的展開圖的是()

11.三視圖均相同的幾何體有()

a.球 b.正方體 c.正四面體 d.以上都對

12.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()

a.①② b.①③ c.①④ d.②④

13.有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應是一個( )

a. 棱臺 b. 棱錐 c. 棱柱 d. 都不對

(2)空間幾何體的表面積和體積

1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面面積公式.

2.空間幾何體的表面積和體積公式.

名稱

幾何體

表面積

體積

柱體

(棱柱和圓柱)

s表面積＝s側＋2s底

v＝________

錐體

(棱錐和圓錐)

s表面積＝s側＋s底

v＝________

臺體

(棱臺和圓臺)

s表面積＝s側＋s上＋s下

v＝_________

____________

球

s＝________

v＝πr3

一、選擇題

1.已知三個球的體積之比為1:8:27,則它們的表面積之比為()

a.1:2:3 b.1:4:9 c.2:3:4 d.1:8:27

2.有一個幾何體的正視、側視、俯視圖分別如圖所示，則該幾何體的表面積為 ( )

a. b. c. d.

3.棱長都是 的三棱錐的表面積為( )

a. b. c. d. 4.長方體的一個頂點上三條棱長分別是 ，且它的 個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是( )

a. b. c. d.都不對

5.三角形abc中，ab= ，bc=4， ，現將三角形abc繞bc旋轉一周，所得簡單組合體的體積為( )

a. b. c.12 d.

6.某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的表面積是( )

a.32 b. c.48 d.

7.設正方體的棱長為,則它的外接球的表面積為()

a. b.2π c.4π d.

8.已知一個全面積為44的長方體,且它的長、寬、高的比為3: 2:1,則此長方體的外接球的表面積為 ( )

. . . .

9.長方體的一個頂點上三條棱長分別是 ，且它的 個頂點都在

同一球面上，則這個球的表面積是( )

a. b. c. d. 都不對

10.正方體的內切球和外接球的半徑之比為( )

a. b. c. d.

二、填空題

1. 中， ，將三角形繞直角邊 旋轉一周所成

的幾何體的體積為____________。

2. 長方體的共頂點的三個側面面積分別為 ，則它的體積為___________.

3.正方體 中， 是上底面 中心，若正方體的棱長為 ，

則三棱錐 的體積為 .

三、解答題

1.將圓心角為 ，面積為 的扇形，作為圓錐的側面，求圓錐的表面積和體積.

2.已知圓臺的上下底面半徑分別是 ,且側面面積等于兩底面面積之和,

求該圓臺的母線長.

3.(如圖)在底半徑為 ，母線長為 的圓錐中內接一個高

為 的圓柱，求圓柱的表面積

4.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖、側

視圖都是由半圓和矩形組成,根據圖中標出的尺寸,計算這個

幾何體的表面積. key：11

5.已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.

求該幾何體的體積v; (2)求該幾何體的側面積s

人教版高中數學必修一教學設計篇三

一、教材分析

在上一節認識空間幾何體結構特征的基礎上，本節來學習空間幾何體的表示形式，以進一步提高對空間幾何體結構特征的認識.主要內容是：畫出空間幾何體的三視圖.

比較準確地畫出幾何圖形，是學好立體幾何的一個前提.因此，本節內容是立體幾何的基礎之一，教學中應當給以充分的重視.

畫三視圖是立體幾何中的基本技能，同時，通過三視圖的學習，可以豐富學生的空間想象力.“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側視圖”，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖”.用這三種視圖即可刻畫空間物體的幾何結構，這種圖稱之為“三視圖”.

教科書從復習初中學過的正方體、長方體……的三視圖出發，要求學生自己畫出球、長方體的三視圖;接著，通過“思考”提出了“由三視圖想象幾何體”的學習任務.進行幾何體與其三視圖之間的相互轉化是高中階段的新任務，這是提高學生空間想象力的需要，應當作為教學的一個重點.

三視圖的教學，主要應當通過學生自己的親身實踐，動手作圖來完成.因此，教科書主要通過提出問題，引導學生自己動手作圖 來展示教學內容.教學中，教師可以通過提出問題，讓學生在動手實踐的過程中學會三視 圖的作法，體會三視圖的作用.對于簡單幾何體的組合體，在作三視圖之前應當提醒學生細心觀察，認識了它的基本結構特征后，再動手作圖.教材中的“探究”可以作為作業，讓學生在課外完成后，再把自己的作品帶到課堂上來展示交流.

值得注意的問題是三視圖的教學，主要應當通過學生自己的親身實踐、動手作圖來完成.另外，教學中還可以借助于信息技術向學生多展示一些圖片，讓學生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形.

二、教學目標

1.知識與技能

(1)掌握畫三視圖的基本技能

(2)豐富學生的空間想象力

2.過程與方法

主要通過學生自己的親身實踐，動手作圖，體會三視圖的作用。

3.情感、態度與價值觀

(1)提高學生空間想象力

(2)體會三視圖的作用

三、重點難點

教學重點：畫出簡單組合體的三視圖，給出三視圖和直觀圖，還原或想象出原實際圖的結構特征.

教學難點：識別三視圖所表示的幾何體.

四、課時安排

1課時

五、教學設計

(一)導入新課

思路1.能否熟練畫出上節所學習的幾何體?工程師如何制作工程設計圖紙?

我們常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體，三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個幾何體而畫出的圖形;直觀圖是觀察者站在某一點觀察幾何體而畫出的圖形.三視圖和直觀圖在工程建設、機械制造以及日常生活中具有重要意義.本節我們將在學習投影知識的基礎上，學習空間幾何體的三視圖.

教師指出課題：投影和三視圖.

思路2.

“橫看成嶺側成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實地反映出物體的結構特征，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖.在初中，我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖(正視圖、側視圖、俯視圖)，你能畫出空間幾何體的三視圖嗎?

教師點出課題：投影和三視圖.

(二)推進新課、新知探究、提出問題

①如圖1所示的五個圖片是我國民間藝術皮影戲中的部分片斷，請同學們考慮它們是怎樣得到的?

圖1

②通過觀察和自己的認識,你是怎樣來理解投影的含義的?

③請同學們觀察圖2的投影過程，它們的投影過程有什么不同?

圖2

④圖2(2)(3)都是平行投影，它們有什么區別?

⑤觀察圖3，與投影面平行的平面圖形，分別在平行投影和中心投影下的影子和原圖形的形狀、大小有什么區別?

圖3

活動：①教師介紹中國的民間藝術皮影戲，學生觀察圖片.

②從投影的形成過程來定義.

③從投影方向上來區別這三種投影.

④根據投影線與投影面是否垂直來區別.

⑤觀察圖3并歸納總結它們各自的特點.

討論結果：①這種現象我們把它稱為是投影.

②由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影幕.

③圖2(1)的投影線交于一點，我們把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影;圖2(2)和(3)的投影線平行，我們把在一束平行光 線照射下形成投影稱為平行投影.

④圖2(2)中，投影線正對著投影面，這種平行投影稱為正投影;圖2(3)中，投影線不是正對著投影面，這種平行投影稱為斜投影.

⑤在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是全等的平面圖形;在中心投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是相似的平面圖形.以后我們用正投影的方法來畫出空間幾何體的三視圖和 直觀圖.

知識歸納：投影的分類如圖4所示.

圖4

提出問題

①在初中，我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，請你回憶三視圖包含哪些部分?

②正視圖、側視圖和俯視圖各是如何得到的?

③一般地，怎樣排列三視圖?

④正視圖、側視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖，它們都是平面圖形.觀察長方體的三視圖，你能得出同一個幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關系嗎?

討論結果：①三視圖包含正視圖、側視圖和俯視圖.

②光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的正視圖(又稱主視圖);光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的側視圖(又稱左視圖);光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的俯視圖.

③三視圖的位置關系：一般地，側視圖在正視圖的右邊;俯視圖在正視圖的下邊.如圖5所示.

圖5

④投影規律：

(1)正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度.

(2)一個幾何體的正視圖和側視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長度一樣，側視圖和俯視圖寬度一樣，即正、俯視圖——長對正;主、側視圖——高平齊;俯、側視圖——寬相等.

畫組合體的三視圖時要注意的問題：

(1)要確定好主視、側視、俯視的方向，同一物體三視的方向不同，所畫的三視圖可能不同.

(2)判斷簡單組合體的三視圖是由哪幾個基本幾何體生成的，注意它們的生成方式，特別是它們的交線位置.

(3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線，用虛線畫出.

( 4)要檢驗畫出的三視圖是否符合“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征，即正、俯視圖長對正;正、側視圖高平齊;俯、側視圖寬相等，前后對應.

由三視圖還原為實物圖時要注意的問題：

我們由實物圖可以畫出它的三視圖，實際生產中，工人要根據三視圖加工零件，需要由三視圖還原成實物圖，這要求我們能由三視圖想象它的空間實物形狀，主要 通過主、俯、左視圖的輪廓線(或補充后的輪廓線)還原成常見的幾何體，還原實物圖時，要先從三視圖中初步判斷簡單組合體的組成，然后利用輪廓線(特別要注意虛線)逐步作出實物圖.

(三)應用示例

思路1

例1 畫出圓柱和圓錐的三視圖.

活動：學生回顧正投影和三視圖的畫法，教師引導學生自己完成.

解：圖6(1)是圓柱的三視圖，圖6(2)是圓錐的三視圖.

(1) (2)

圖6

點評：本題主要考查簡單幾何體的三視圖和空間想象能力.有關三視圖的題目往往依賴于豐富的空間想象能力.要做到邊想著幾何體的實物圖邊畫著三視圖，做到想圖(幾何體的實物圖)和畫圖(三視圖)相結合.

變式訓練

說出下列圖7中兩個三視圖分別表示的幾何體.

(1) (2)

圖7

答案：圖7(1)是正六棱錐; 圖7(2)是兩個相同的圓臺組成的組合體.

例2 試畫出圖8所示的礦泉水瓶的三視圖.

活動：引導學生認識這種容器的結構特征.礦泉水瓶是我們熟悉的一種容器，這種容器是簡單的組合體，其主要結構特征是從上往下分別是圓柱、圓臺和圓柱.

圖8 圖9

解：三視圖如圖9所示.

點評：本題主要考查簡單組合體的三視圖.對于簡單空間幾何體的組合體，一定要認真觀察，先認識它的基本結構，然后再畫它的三視圖.

變式訓練

畫出圖10所示的幾何體的三視圖.

圖10 圖11

答案：三視圖 如圖11所示.

思路2

例1 (2007安徽淮南高三第一次模擬，文16)如圖12甲所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是aa1、c1d1的中點，g是正方形bcc1b1的中心，則四邊形agfe在該正方體的各個面上的投影可能是圖12乙中的____________.

甲 乙

圖12

活動：要畫出四邊形agfe在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點a、g、f、e在每個面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相同的.

分析：在面abcd和面a1b1c1d1上的投影是圖12乙(1);在面add1a1和面bcc1b1上的投影是圖12乙(2);在面abb1a1和面dcc1d1上的投影是圖12乙(3).

答案：(1)(2)(3)

點評：本題主要考查平行投影和空間想象能力.畫出一個圖形在一個平面上的投影的關鍵是確定該圖形的關鍵點，如頂點等，畫出這 些關鍵點的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影.如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現不知所措的情形，避免出現這種情況的方法是依據平行投影的含義，借助于空間想象來完 成.

變式訓練

如圖13(1)所示，e、f分別為正方體面add′a′、面bcc′b′的中心，則四邊形bfd′e在該正方體的各個面上的投影可能是圖13(2)的___________.

(1) (2)

圖13

分析：四邊形bfd′e在正方體abcd—a′b′c′d′的面add′a′、面bcc′b′上的投影是c;在面dcc′d′上的投影是b;同理，在面abb′a′、面abcd、面a′b′c′d′上的投影也全是b.

答案：b c

例2 (2007廣東惠州第二次調研，文2)如圖14所示，甲、乙、丙是三個立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對應的標號正確的是( )

甲 乙 丙

圖14

①長方體 ②圓錐 ③三棱錐 ④圓柱

a.④③② b.②①③ c.①②③ d.③②④

分析：由于甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉體，又因正視圖和側視圖均是矩形，則甲是圓柱;由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因正視圖和側視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐;由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉體，又因正視圖和側視圖均是三角形，則丙是圓錐.

答案：a

點評：本題主要考查三視圖和簡單幾何體的結構特征.根據三視圖想象空間幾何體，是培養空間想象能力的重要方式，這需要根據幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖的幾何特征，想象整個幾何體的幾何特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體.通常是先根據俯視圖判斷是多面體還是旋轉體，再結合正視圖和側視圖確定具體的幾何結構特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體.

變式訓練

1.圖15是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結構特征，畫出該幾何體的形狀.

圖15 圖16

分析：由于俯視圖有一個圓和一個四邊形，則該幾何體是由旋轉體和多面體拼接成的組合體，結合側視圖和正視圖，可知該幾何體是上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體.

答案：上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體.該幾何體的形狀如圖16所示.

2.(2007山東高考，理3)下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是( )

圖17

a.①② b.①③ c.①④ d.②④

分析：正方體的三視圖都是正方形，所以①不符合題意，排除a、b、c.

答案：d

點評：雖然三視圖的畫法比較繁瑣，但是三視圖是考查空間想象能力的重要形式，因此是新課標高考的必考內容之一，足夠的空間想象能力才能保證順利解決三視圖問題.

(四)知能訓練

1.下列各項不屬于三視圖的是( )

a.正視圖 b.側視圖 c.后視圖 d.俯視圖

分析：根據三視圖的規定，后視圖不屬于三視圖.

答案：c

2.兩條相交直線的平行投影是( )

a.兩條相交直線 b.一條直線

c.兩條平行直線 d.兩條相交直線或一條直線

圖18

分析：借助于長方體模型來判斷，如圖18所示，在長方體abcd—a1b1c1d1中，一束平行光線從正上方向下照射.則相交直線cd1和dc1在面abcd上的平行投影是同一條直線cd，相交直線cd1和bd1在面abcd上的平行投影是兩條相交直線cd和bd.

答案：d

3.甲、乙、丙、丁四人分別面對面坐在一個四邊形桌子旁邊，桌上一張紙上寫著數字“9”，如圖19所示.甲說他看到的是“6”，乙說他看到的是“ 6”，丙說他看到的是“ 9”，丁說他看到的是“9”，則下列說法正確的是( )

圖19

a.甲在丁的對面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊

b.丙在乙的對面，丙的左邊是甲，右邊是乙

c.甲在乙的對面，甲的右邊是丙，左邊是丁

d.甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊

分析：由甲、乙、丙、丁四人的敘述，可以知道這四人的位置如圖20所示，由此可得甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊.

圖20

答案：d

4.(2007廣東汕頭模擬，文3)如果一個空間幾何體的正視圖與側視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個圓及其圓心，那么這個幾何體為( )

a.棱錐 b.棱柱 c.圓錐 d.圓柱

分析：由于俯視圖是一個圓及其圓心，則該幾何體是旋轉體，又因正視圖與側視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐.

答案：c

5.(2007山東青島高三期末統考，文5)某幾何體的三視圖如圖21所示，那么這個幾何體是( )

圖21

a.三棱錐 b.四棱錐 c.四棱臺 d.三棱臺

分析：由所給三視圖可以判定對應的幾何體是四棱錐.

答案：b

6.(2007山東濟寧期末統考，文5)用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖22所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數是( )

圖22

a.8 b.7 c.6 d.5

分析：由正視圖和側視圖可知，該幾何體有兩層小正方體拼接成，由俯視圖，可知最下層有5個小正方體，由側視圖可知上層僅有一個正方體，則共有6個小正方體.

答案：c

7.畫出圖23所示正四棱錐的三視圖.

圖23

分析：正四棱錐的正視圖與側視圖均為等腰三角形，俯視圖為正方形，對角線體現正四棱錐的四條側棱.

答案：正四棱錐的三視圖如圖24.

圖24

(五)拓展提升

問題：用數個小正方體組成一個幾何體，使它的正視圖和俯視圖如圖25所示，俯視圖中小正方形中的字母表示在該位置的小立方體的個數.

(1)你能確定 哪些字母表示的數?

(2)該幾何體可能有多少種不同的形狀?

圖25

分析：解決本題的關鍵在于觀察正視圖、俯視圖，利用三視圖規則中的“在三視圖中，每個視圖都反映物體兩個方向的尺寸.正視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，側視圖反映物體的前后和上下尺寸”.又“正視圖與俯視圖長對正,正視圖與側視圖高平齊,俯視圖與側視圖寬相等”,所以，我們可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值為2.

解：(1)面對數個小立方體組成的幾何體，根據正視圖與俯視圖的觀察我們可以得出下列結論：

①a=3,b=1,c=1;

②d,e,f中的最大值為2.

所以上述字母中我們可以確定的是a=3,b=1,c=1.

(2)當d,e,f中有一個是2時，有3種不同的形狀;

當d,e,f有兩個是2時，有3種不同的形狀;

當d,e,f都是2時，有一種形狀.

所以 該幾何體可能有7種不同的形狀.

(六)課堂小結

本節課學習了：

1.中心投影和平行投影.

2.簡單幾何體和組合體的三視圖的畫法及其投影規律.

3.由三視圖判斷原幾何體的結構特征.

(七)作業

習題1.2 a 組 第1、2題.

人教版高中數學必修一教學設計篇四

共1課時

1教學目標

一、知識與技能：1、理解并掌握直線與平面平行的性質定理;

2、引導學生探究線面平行的問題可以轉化為線線平行的問題，從而能夠通過化歸解決有關問題，進一步體會數學轉化的思想。

二、過程與方法：通過直觀觀察、猜想研究線面平行的性質定理，培養學生的自主學習能力，發展學生的合情推理能力及邏輯論證能力。

三、情感、態度與價值觀：培養學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學轉化過程中激發學生的學習興趣，從而培養學生勤于動腦和動手的良好品質。

2重點難點

教學重點:線與面平行的性質定理及其應用。

教學難點:線與面的性質定理的應用。

3教學過程 3.1 第一學時 教學活動 活動1【導入】問題引入

一、問題引入

木工小劉在處理如圖所示的一塊木料，已知木料的棱bc∥平面a′c′.現在小劉要經過平面a′c′內一點p和棱bc將木料鋸開，卻不知如何畫線，你能幫助他解決這個問題嗎?

預設：(1)過p作一條直線平行于b′c′;

(2)過p作一條直線平行與bc。

(問題引入的目的在于激起學生對于這堂課的興趣，帶著問題學習目的性更強，效果也會更好。)

活動2【講授】新課講授

二、知識回顧

判定一條直線與一個平面平行的方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、判定定理法：平面外一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。(線線平行→線面平行)

三、知識探究(一)

思考一：如果直線a與平面α平行，那么直線a與平面α內的直線有哪些位置關系?

答：平行或異面。

思考2：若直線a與平面α平行，那么在平面α內與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關系如何?

答：無數條;平行。

思考3：如果直線a與平面α平行，經過直線a的平面β與平面α相交于直線b，那么直線a、b的位置關系如何?為什么?

答：平行;因為a∥α，所以a與α沒有公共點，則a與b沒有公共點，又a與b在同一平面β內，所以a與b平行。

思考4：綜上分析，在直線a與平面α平行的條件下我們可以得到什么結論?

答：如果一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

(四個思考題的目的在于引導學生探究直線與平面平行的性質定理。)

四、知識探究(二)

定理：如果一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

定理可簡述為：線面平行，則線線平行。

直線與平面平行的性質定理的符號表示：

(由圖形語言到文字語言，再到符號語言，一步一步深化學生對該定理的理解)

活動3【練習】課堂練習

五、應用示例

練習1：判斷下列命題是否正確，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。

(1)如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面。 ( × )

(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行。 ( × )

(3)如果直線a，b和平面α滿足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b。 ( × )

例3 如圖所示的一塊木料中，棱bc平行于面a′c′.

(1)要經過面a′c′ 內一點p和棱bc將木料鋸開，應怎樣畫線?

(2)所畫的線與平面ac是什么位置關系?

分析：經過木料表明a′c′內的一點p和棱bc將木料鋸開，實際上是經過bc及bc外一點p做截面，也就是找出平面與平面的交線。我們可以由直線與平面平行的性質定理和公理2、公理4作出。

練習2：如圖，在空間四邊形abcd中，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da上的點，eh∥fg，求證：fg∥bd.

活動4【講授】課堂小結

六、課堂小結

1、直線與平面平行的判定定理

(1)定理 平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行。

(2)線線平行→線面平行

2、直線與平面平行的性質定理

(1)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

(2)線面平行→線線平行

(課堂總結從文字語言、圖形語言、符號語言三方面強調總結兩個定理。)

活動5【作業】課后作業

p61練習，習題2.2a組：1，2. (做在書上)

p62習題2.2a組：5，6.

2.2直線、平面平行的判定及其性質

課時設計 課堂實錄

2.2直線、平面平行的判定及其性質

1第一學時 教學活動 活動1【導入】問題引入

一、問題引入

木工小劉在處理如圖所示的一塊木料，已知木料的棱bc∥平面a′c′.現在小劉要經過平面a′c′內一點p和棱bc將木料鋸開，卻不知如何畫線，你能幫助他解決這個問題嗎?

預設：(1)過p作一條直線平行于b′c′;

(2)過p作一條直線平行與bc。

(問題引入的目的在于激起學生對于這堂課的興趣，帶著問題學習目的性更強，效果也會更好。)

活動2【講授】新課講授

二、知識回顧

判定一條直線與一個平面平行的方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、判定定理法：平面外一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。(線線平行→線面平行)

三、知識探究(一)

思考一：如果直線a與平面α平行，那么直線a與平面α內的直線有哪些位置關系?

答：平行或異面。

思考2：若直線a與平面α平行，那么在平面α內與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關系如何?

答：無數條;平行。

思考3：如果直線a與平面α平行，經過直線a的平面β與平面α相交于直線b，那么直線a、b的位置關系如何?為什么?

答：平行;因為a∥α，所以a與α沒有公共點，則a與b沒有公共點，又a與b在同一平面β內，所以a與b平行。

思考4：綜上分析，在直線a與平面α平行的條件下我們可以得到什么結論?

答：如果一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

(四個思考題的目的在于引導學生探究直線與平面平行的性質定理。)

四、知識探究(二)

定理：如果一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

定理可簡述為：線面平行，則線線平行。

直線與平面平行的性質定理的符號表示：

(由圖形語言到文字語言，再到符號語言，一步一步深化學生對該定理的理解)

活動3【練習】課堂練習

五、應用示例

練習1：判斷下列命題是否正確，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。

(1)如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面。 ( × )

(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行。 ( × )

(3)如果直線a，b和平面α滿足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b。 ( × )

例3 如圖所示的一塊木料中，棱bc平行于面a′c′.

(1)要經過面a′c′ 內一點p和棱bc將木料鋸開，應怎樣畫線?

(2)所畫的線與平面ac是什么位置關系?

分析：經過木料表明a′c′內的一點p和棱bc將木料鋸開，實際上是經過bc及bc外一點p做截面，也就是找出平面與平面的交線。我們可以由直線與平面平行的性質定理和公理2、公理4作出。

練習2：如圖，在空間四邊形abcd中，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da上的點，eh∥fg，求證：fg∥bd.

活動4【講授】課堂小結

六、課堂小結

1、直線與平面平行的判定定理

(1)定理 平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行。

(2)線線平行→線面平行

2、直線與平面平行的性質定理

(1)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

(2)線面平行→線線平行

(課堂總結從文字語言、圖形語言、符號語言三方面強調總結兩個定理。)

活動5【作業】課后作業

p61練習，習題2.2a組：1，2. (做在書上)

p62習題2.2a組：5，6.

人教版高中數學必修一教學設計篇五

課題名稱

《2.1空間點、直線與平面之間的位置關系》

科 目

高中數學

教學時間

1課時

學習者分析

通過第一章《空間幾何體》的學習，學生對于立體幾何已經有了初步的認識，能夠識別棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球，并理解它們的幾何特征。但是這種理解還只是建立在觀察、感知的基礎上的，對于原理學生是不明確的，所以學生此時有很強的求知欲，急于想搞清楚為什么;同時學生經過高中一年的學習，已經具備了一定的邏輯推理能力，只是缺乏訓練，不夠嚴密，不夠清晰;有一定的自主探究和合作學習的能力，但有待提高，并愿意動手并參與分組討論。

教學目標

一、知識與技能

1.理解空間點、直線、平面的概念，知道空間點、直線、平面之間存在什么樣的關系;

2.記憶三公理三推論，能夠用簡單的語言概括三公理三推論，會用圖形表示三公理三推論，并將其轉化成數學符號語言;

3. 明確三公理三推論的功能，掌握使用三公理三推論解決立體幾何問題的方法。

二、過程與方法

1.通過自己動手制作模型，直觀地感知空間點、直線與平面之間的位置關系，以及三公理三推論;

2. 通過思考、討論，發現三公理三推論的條件和結論;

3.通過例題的訓練，進一步理解三公理三推論，明確三公理三推論的功能。

三、情感態度與價值觀

1.通過操作、觀察、討論培養對立體幾何的興趣，建立合作的意識;

2.感受立體幾何邏輯體系的嚴密性，培養學生細心的學習品質。

教學重點、難點

1.理解三公理三推論的概念及其內涵;

2.使用三公理三推論解決立體幾何問題。

教學資源

(1)每位同學準備兩張硬紙板，其中一張中間用小刀劃條縫，鉛筆三根;

(2)教師自制的多媒體課件。

《2.1空間點、直線與平面之間的位置關系》教學過程的描述

教學活動1

一、導入新課

1. 回憶構成平面圖形的基本元素：點、直線。①兩者都是最原始的概念，點沒有大小、面積、厚度，直線是向兩側無限延伸的;②點用大寫英文字母表示，直線用小寫英文字母表示;③ 如果將點看作元素，則直線是一系列點構成的集合，所以點在直線上記作，點不在直線上記作;

2. 提出問題：構成空間幾何體有哪些基本元素?(大屏幕出示棱柱、棱錐、棱臺)學生很快得到答案：點、直線、平面。

3. 引入課題：什么是平面?點、直線、平面之間有什么樣的位置關系?平面有什么性質?這就是我們這堂課要研究的問題。

教學活動2

二、觀察操作，合作探究

1. 理解平面的概念

平面也是一個最原始的概念，是向四周無限延伸的，沒有邊界。一般用希臘字母、、，…表示平面，或者記為平面abc，平面abcd等等。

2. 明確空間點、直線、平面之間存在的位置關系

①點與直線;②點與平面;③直線與平面。

3. 探究平面的性質

⑴ 公理一

① 學生操作，研究如何將鉛筆放置到硬紙板內

問題一：鉛筆與硬紙板只有一個公共點可以么?

問題二：要將鉛筆放置到硬紙板內至少需要幾個公共點?

學生通過操作，體會到要將鉛筆放置到硬紙板內，只需將鉛筆上兩點放置到硬紙板內。

② 抽象出公理一

問題一：如何用圖形表示公理一?

問題二：要求學生將公理一表示成數學符號的形式;

問題三：公理一有什么功能?

③ 動畫演示公理一

⑵ 公理二

① 學生操作，研究過空間中三點能確定幾個平面

問題一：若三點共線，能確定幾個平面?

問題二：要確定一個平面，需要三點滿足什么條件?

學生通過操作，體會公理二所表達的含義。

② 抽象出公理二

問題一：如何用圖形表示公理二?

問題二：要求學生將公理二表示成數學符號的形式;

問題三：還能根據什么條件確定一個平面?引出三推論。

問題四：公理二及三推論有什么功能?

③ 動畫演示公理二及三推論

⑶ 公理三

① 學生操作，展示兩個平面只有一個公共點

問題一：兩個平面真的只有一個公共點么?

問題二：這個公共點與這條公共直線有什么關系?

學生通過操作，體會公理三所表達的含義。

② 抽象出公理三

問題一：如何用圖形表示公理三?

問題二：要求學生將公理三表示成數學符號的形式;

問題三：公理三有什么功能?

③ 動畫演示公理三

教學活動3

三、歸納總結，加深理解

⒈ 平面具有無限延展性;

⒉ 公理一有什么功能?條件是什么?

⒊ 公理二有什么功能?條件是什么?

⒋ 公理三有什么功能?條件是什么?

教學活動4

四、布置作業，課外研討

⒈ 課后練習p43：1、2、3、4;

⒉ 平面幾何中證明平行四邊形有哪些定理?這些定理在空間中能否成立?說明理由。