在日常的學習、工作、生活中，肯定對各類范文都很熟悉吧。寫范文的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？這里我整理了一些優(yōu)秀的范文，希望對大家有所幫助，下面我們就來了解一下吧。

導數(shù)證明不等式篇一

f(x)=x-ln(x+1)

f(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f(x)>0,增函數(shù)

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時，x>ln(x+1)

二、導數(shù)是近些年來高中課程加入的新內(nèi)容，是一元微分學的核心部分。本文就談談導數(shù)在一元不等式中的應用。

例1.已知x∈(0，)，求證:sinx

導數(shù)證明不等式篇二

用導數(shù)證明不等式

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^

2f(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定

求導數(shù)有sinx-x的導數(shù)是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數(shù)x-x3/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點有最大值0

x2/2-cosx-10

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x2>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f(x)=1-2x

當x∈時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈時,f(x)

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

求證(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對于m+1個數(shù)，其中m個(2+m)，1個1,它們的算術平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此說明數(shù)列{(1+m)^(1/m)}是單調(diào)遞減的。

方法二：導數(shù)方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導數(shù)

f(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

為了考察f(x)的正負

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g(x)=-x/(1+x)^20

因此g(x)0,亦即f(x)

因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

令a*b*c=k的3次方

求證(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方

化成函數(shù)，f(x)，求導，可知其單調(diào)區(qū)間，然后求最大最小值即可。

理論上所有題目都可以用導數(shù)做，但有些技巧要求很高。

(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2

=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)

對a求導，f(a,b)a=0，可得一個方程，解出即得。

導數(shù)證明不等式篇三

利用導數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構造出一個

函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利 用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設f(x)?sinx?x,則f(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。

點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構造函數(shù)f(x)?f(x)?g(x)，如果f(x)?0,，則f(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若f(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時，有f(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設f?x??e?1?x?x12x,則f?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g(x)?e?1.當x?0時，g?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導數(shù)知識證明不等式是導數(shù)應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點函數(shù)值與0的關系，其實質(zhì)就是利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設 f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x?x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?f?(x)??0,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?f(x)?f(0)?0 ?ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?x?0 ??1 ?g?(x)?0 １?xx2?x??ln(1?x)?x

2 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設函數(shù)，求導判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。

導數(shù)證明不等式篇四

導數(shù)的定義：f(x)=lim δy/δx δx→0（下面就不再標明δx→0了）用定義求導數(shù)公式（1）f(x)=x^n

證法一：（n為自然數(shù)）f(x)=lim [(x+δx)^n-x^n]/δx =lim(x+δx-x)[(x+δx)^(n-1)+x*(x+δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+δx)+x^(n-1)]/δx =lim [(x+δx)^(n-1)+x*(x+δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)

證法二：（n為任意實數(shù)）

f(x)=x^n lnf(x)=nlnx(lnf(x))=(nlnx) f(x)/f(x)=n/x f(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*x^n f(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx f(x)=lim(sin(x+δx)-sinx)/δx=lim(sinxcosδx+cosxsinδx-sinx)/δx =lim(sinx+cosxsinδx-sinx)/δx=lim cosxsinδx/δx=cosx

（3）f(x)=cosx f(x)=lim(cos(x+δx)-cosx)/δx=lim(cosxcosδx-sinxsinδx-cosx)/δx =lim(cosx-sinxsinδx-cos)/δx=lim-sinxsinδx/δx=-sinx

（4）f(x)=a^x f(x)=lim(a^(x+δx)-a^x)/δx=lim a^x*(a^δx-1)/δx（設a^δx-1=m，則δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna

若a=e，原函數(shù)f(x)=e^x 則f(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x f(x)=lim(loga^(x+δx)-loga^x)/δx

=lim loga^[(x+δx)/x]/δx=lim loga^(1+δx/x)/δx=lim ln(1+δx/x)/(lna*δx)=lim x*ln(1+δx/x)/(x*lna*δx)=lim(x/δx)*ln(1+δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+δx/x)^(x/δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)

若a=e，原函數(shù)f(x)=loge^x=lnx則f(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanx f(x)=lim(tan(x+δx)-tanx)/δx=lim(sin(x+δx)/cos(x+δx)-sinx/cosx)/δx =lim(sin(x+δx)cosx-sinxcos(x+δx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim(sinxcosδxcosx+sinδxcosxcosx-sinxcosxcosδx+sinxsinxsinδx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim sinδx/(δxcosxcos(x+δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx f(x)=lim(cot(x+δx)-cotx)/δx=lim(cos(x+δx)/sin(x+δx)-cosx/sinx)/δx =lim(cos(x+δx)sinx-cosxsin(x+δx))/(δxsinxsin(x+δx))=lim(cosxcosδxsinx-sinxsinxsinδx-cosxsinxcosδx-cosxsinδxcosx)/(δxsinxsin(x+δx))=lim-sinδx/(δxsinxsin(x+δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx f(x)=lim(sec(x+δx)-secx)/δx=lim(1/cos(x+δx)-1/cosx)/δx =lim(cosx-cos(x+δx)/(δxcosxcosδx)=lim(cosx-cosxcosδx+sinxsinδx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim sinxsinδx/(δxcosxcos(x+δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx f(x)=lim(csc(x+δx)-cscx)/δx=lim(1/sin(x+δx)-1/sinx)/δx =lim(sinx-sin(x+δx))/(δxsinxsin(x+δx))=lim(sinx-sinxcosδx-sinδxcosx)/(δxsinxsin(x+δx))=lim-sinδxcosx/(δxsinxsin(x+δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx(lnf(x))=(xlnx) f(x)/f(x)=lnx+1 f(x)=(lnx+1)*f(x)f(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h(x)=lim(f(x+δx)g(x+δx)-f(x)g(x))/δx =lim [(f(x+δx)-f(x)+f(x))*g(x+δx)+(g(x+δx)-g(x)-g(x+δx))*f(x)]/δx =lim [(f(x+δx)-f(x))*g(x+δx)+(g(x+δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+δx)-f(x)*g(x+δx)]/δx =lim(f(x+δx)-f(x))*g(x+δx)/δx+(g(x+δx)-g(x))*f(x)/δx=f(x)g(x)+f(x)g(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h(x)=lim(f(x+δx)/g(x+δx)-f(x)g(x))/δx =lim(f(x+δx)g(x)-f(x)g(x+δx))/(δxg(x)g(x+δx))=lim [(f(x+δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(δxg(x)g(x+δx))=lim [(f(x+δx)-f(x))*g(x)-(g(x+δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(δxg(x)g(x+δx))=lim(f(x+δx)-f(x))*g(x)/(δxg(x)g(x+δx))-(g(x+δx)-g(x))*f(x)/(δxg(x)g(x+δx))=f(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g(x)/(g(x)*g(x))=[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h(x)=lim [f(g(x+δx))-f(g(x))]/δx =lim [f(g(x+δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/δx（另g(x)=u，g(x+δx)-g(x)=δu）=lim(f(u+δu)-f(u))/δx=lim(f(u+δu)-f(u))*δu/(δx*δu)=lim f(u)*δu/δx=lim f(u)*(g(x+δx)-g(x))/δx=f(u)*g(x)=f(g(x))g(x)

總結

（x^n）=nx^(n-1)（sinx）=cosx（cosx）=-sinx（a^x）=a^xlna（e^x）=e^x（loga^x）=1/(xlna)（lnx）=1/x(tanx)=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)=tanx*secx(cscx)=-cotx*cscx(x^x)=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)[f(x)/g(x)]=[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]=f(g(x))g(x)

導數(shù)證明不等式篇五

題目：已知x＞1，證明x＞ln（1+x）。

題型：

分值：

難度：

考點：

解題思路：令f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，根據(jù)它的導數(shù)的符號可得函數(shù)f(x)在1)=1-ln2>0，從(1,+)上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f(x)>f（而證得不等式．

解析：解：設f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，f￠(x)=1-1x，=1+x1+x

又x>(x)>0，f(x)=x-ln(1+x)在(1,+)上單調(diào)遞增，1，f￠

f(x)>f(1)=1-ln2>0，即x-ln(1+x)>0，x>ln(1+x).答案：略.點撥：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)類型的函數(shù)的求導法則以及構造函數(shù)法.本題的關鍵是構造出函數(shù)

證明題常用的一種方法.f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，構造函數(shù)法是