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定積分的概念教材分析篇一

基礎(chǔ)教學(xué)部 高黎明

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本節(jié)課選自同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五章第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)，是上承導(dǎo)數(shù)、不定積分，下接定積分在幾何學(xué)及物理學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用在高職院校理工類各專業(yè)課程中十分普遍。

2、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教材內(nèi)容及教學(xué)大綱要求，參照學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和理解能力，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

（1）知識(shí)目標(biāo)：理解定積分的基本思想和概念的形成過程，掌握解決積分學(xué)問題的“四步曲”。

（2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（3）情感目標(biāo)：從實(shí)踐中創(chuàng)設(shè)情境，滲透“化整為零零積整”的辯證唯物觀。

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念和思想。

教學(xué)難點(diǎn)：理解定積分的概念，領(lǐng)會(huì)定積分的思想。

二、教法和學(xué)法

1、教法方面

以講授為主：案例教學(xué)法（引入概念），問題驅(qū)動(dòng)法（加深理解），練習(xí)法（鞏固知識(shí)），直觀性教學(xué)法（變抽象為具體）。

2、學(xué)法方面

板書教學(xué)為主，多媒體課件為輔（化解難點(diǎn)、保證重點(diǎn)）。（1）發(fā)現(xiàn)法解決第一個(gè)案例 ；（2）模仿法解決第二個(gè)案例 ；（3）歸納法總結(jié)出概念 ；（4）練習(xí)法鞏固加深理解。

三、教學(xué)程序

1、導(dǎo)入新課：

實(shí)例1：曲邊梯形的面積如何求？

首先用多媒體演示一個(gè)曲邊梯形，然后提出問題 ：（1）什么是曲邊梯形？

（2）有關(guān)歷史：簡(jiǎn)單介紹割圓術(shù)及微積分背景。（3）探究：提出幾個(gè)問題（注意啟發(fā)與探究）。a、能否直接求出面積的準(zhǔn)確值？

b、用什么圖形的面積來代替曲邊梯形的面積呢？三角形、矩形、梯形？采用一個(gè)矩形的面積來近似與二個(gè)矩形的面積來近似，一般來說哪個(gè)值更接近？二個(gè)矩形與三個(gè)相比呢？??探究階段、概念引入階段、創(chuàng)設(shè)情境、拋磚引玉。

（4）猜想:讓學(xué)生大膽設(shè)想，使用什么方法，可使誤差越來越小，直到為零？

（5）論證：多媒體圖像演示，直觀形象模擬,讓學(xué)生逐步觀察到求出面積的方法。

（6）教師講解分析:“分割成塊、近似代替、積累求和、無窮累加”的微積分思想方法。思解階段、概念探索階段、啟發(fā)探究、引人入勝。

（7）總結(jié): 總結(jié)出求該平面圖形面積的極限式公式。實(shí)例2.如何求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程？

（1）提問: 通過類似方法解決，注意啟發(fā)引導(dǎo)。（2）歸納：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。

2、講授新課

歸結(jié)階段、提煉概念：

實(shí)例1和實(shí)例2的共同點(diǎn)：特殊的和式極限。

方法：化整為零細(xì)劃分，不變代變得微分，積零為整微分和，無限累加得積分。

定義階段、抓本質(zhì)建立概念、深化概念 ：（1）定義: 寫出定積分的概念。

（2）定義說明。

3、練習(xí)鞏固

（1）例

1、求定積分?10x2dx.學(xué)生練習(xí)，教師點(diǎn)評(píng)練習(xí)，讓概念具體化。（2）練習(xí)鞏固：求定積分?21exdx.4、歸納總結(jié)

總結(jié)：梳理知識(shí)、鞏固重點(diǎn)

（1）回顧四個(gè)步驟：①分割②近似③求和④取極限。（2）回顧定積分作為和式極限的概念。（3）加深概念理解的幾個(gè)注意。（4）會(huì)用定積分的概念計(jì)算定積分。

5、布置作業(yè)

定積分的概念教材分析篇二

四川工商學(xué)院

授 課 計(jì) 劃（教 案）

課程名稱：高等數(shù)學(xué)

章節(jié)名稱：第六章 第一節(jié) 定積分的概念 使用教材：趙樹媛主編，《微積分》（第四版），北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2016.8 教學(xué)目的：掌握定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、從具體到一般的抽象思維方式；從已知到未知的研究問題的方法，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念

教學(xué)難點(diǎn)：定積分概念建立、分割的思想方法及應(yīng)用

教學(xué)方法：教學(xué)采用啟發(fā)式、數(shù)形結(jié)合，用多媒體輔助教學(xué)。適用層次：應(yīng)用型本科。教學(xué)時(shí)間：45分鐘。

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)

引言

介紹牛頓和萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家以及在微積分方面的研究成果，重點(diǎn)展示在積分方面的成果。（簡(jiǎn)單提及積分產(chǎn)生背景）

（ppt展示肖像，簡(jiǎn)歷和成就。2分鐘）

一、引例

已經(jīng)會(huì)用公式求長(zhǎng)方形、梯形、三角形面積。但對(duì)一些不規(guī)則平面圖形的面積計(jì)算，需要尋求其他方法計(jì)算。

（ppt展示封閉的圖形及分塊，特別強(qiáng)調(diào)曲邊梯形。2分鐘）

（一）求曲邊梯形的面積（板書）

由x?a,x?b,y?0與y?f?x??0圍成平面圖形，求面積a=?（如圖）（ppt展示）

1.分析問題

（1）用小曲邊梯形的面積相加就是a；（ppt展示）

（2）用小矩形代替小曲邊梯形有誤差，但有計(jì)算表達(dá)式（ppt放大圖形）

（3）分的越細(xì)，其和精度越高（ppt）（4）最好是都很細(xì)，或最大的都很小（ppt）

（ppt展示，4分鐘）

2.分割

（1）在?a,b?內(nèi)任意插入n?1個(gè)分點(diǎn)：

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b

這樣，把?a,b?分成了n個(gè)小區(qū)間?x0,x1?,?,?xi?1,xi?,?,?xn?1,xn?，并記小區(qū)間的長(zhǎng)度為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?（ppt演示，重點(diǎn)說明其目的是準(zhǔn)備用小矩形代替小曲邊梯形，以便提高精度。2分鐘）

（2）過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線，這樣一來，大的曲邊梯形被分成n個(gè)小曲邊梯形?ai（小范圍）。

3.近似代替

f(在第i 個(gè)小曲邊梯形上任取??i?[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

為底，? i)為高的小矩形, ?1i]并用此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積 ?

a i , 得

?ai?f(?i)?xi?xi?xi?xi?1，i?1,2,....,n

（ppt演示，重點(diǎn)說明乘積的量表示什么。2分鐘）

（1）求和

把n個(gè)小曲邊梯形相加，就得到大曲邊梯形面積的近似值

???a???ai??f??i??xi（板書）

i?1i?1nn（ppt演示，重點(diǎn)說明，兩個(gè)量的區(qū)別，讓學(xué)生記住后一個(gè)表達(dá)式，這是將來應(yīng)用的核心部

分。3分鐘）

（2）取極限

當(dāng)分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增加，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值?，即趨近于零時(shí)，上述和式極限就是梯形面積的精確值。

nn

a?lim?ai=limf??i??xi即 ??max{?xi},（板書）??0??01?i?ni?1i?1

（ppt演示，重點(diǎn)說明三個(gè)符號(hào)構(gòu)成一個(gè)新的記號(hào)，重點(diǎn)。3分鐘）

（二）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程（板書）

??求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程s。

n設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔?t1，t2?上t的連續(xù)函數(shù)，且 v(t)?0,s=lim?v??i??ti（板書）

??0i?1（ppt展示上述結(jié)論，與

（一）對(duì)比，只是將符號(hào)變更，另一方面乘積的量發(fā)生了變化。

3分鐘）

二、定積分的定義

定義：設(shè)函數(shù)f?x?在?a,b?上有定義，任意取分點(diǎn)

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b

把?a,b?分成n個(gè)小區(qū)間，?xi-1，xi?稱為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?。在每個(gè)子區(qū)間?xi-1，xi?上，任取一點(diǎn)?i??xi-1，xi?，得函數(shù)值fnf(?)?x。??i?，作乘積

ii

f(?i)?xi。把所有的乘積加起來，得和式 ?i?1當(dāng)n無限增大，且子區(qū)間長(zhǎng)度的最大長(zhǎng)度趨近于零時(shí)，如果上述和式的極限存在，則稱f?x?在子區(qū)間?a,b?上可積，并將此極限值稱為函數(shù)f?x?在?a,b?上的定積分。記作：

?f?x?dx

ab即

?f????x

（板書）?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn

（ppt展示定義，重點(diǎn)說明：記號(hào)和等號(hào)，左邊是新的符號(hào)，右邊是其表達(dá)式，即如果可以建立右邊表達(dá)式，就立即將其用左邊符號(hào)表示，換言之，看見左邊符號(hào)，立即聯(lián)想到右邊的表達(dá)式。4分鐘）

（板書）?f?x?dx，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程可以表示為：s=?v?t?dt（板書）曲邊梯形的面積可以表示為：a?abt2t1定理

1設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，則f?x?在?a,b?上可積。

定理2 設(shè)f?x?在?a,b?上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f?x?在?a,b?上可積。

（ppt展示定理。解釋：只要滿足條件，lim??0?f????x 就可以與定積分符號(hào)劃等號(hào)。

iii?1n2分鐘）

三、例題

利用定義計(jì)算定積分

?10x2dx

（ppt展示全部計(jì)算過程及答案，說明幾何意義。特別強(qiáng)調(diào)，以后用牛-萊公式計(jì)算，即簡(jiǎn)單又快捷，但要用到不定積分的知識(shí)，提醒學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的相關(guān)知識(shí)。下次課介紹牛-萊公式。2分鐘）

四、總結(jié)（板書）

（ppt展示定義-符號(hào)、定理，提示復(fù)習(xí)不定積分，核心表達(dá)式板書。1分鐘）

五、作業(yè)（板書）

板書設(shè)計(jì)框架

第五章 第一節(jié) 定積分的概念

一、引例

（一）求曲邊梯形的面積

（二）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

二、定積分定義

?f????x ?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn

三、例題

?10x2dx=

四、總結(jié)

五、習(xí)題與提示

定積分的概念教材分析篇三

定積分的概念說課稿

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本節(jié)課選自二十一世紀(jì)普通高等教育系列教材《高等數(shù)學(xué)》第三章第二節(jié)定積分的概念與性質(zhì)，是上承導(dǎo)數(shù)、不定積分，下接定積分在水力學(xué)、電工學(xué)、采油等其他學(xué)科中的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用在高職院校理工類各專業(yè)課程中十分普遍。

2、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教材內(nèi)容及教學(xué)大綱要求，參照學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和理解能力，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

（1）知識(shí)目標(biāo)：掌握定積分的概念，幾何意義和性質(zhì)

（2）能力目標(biāo)：掌握“分割、近似代替、求和、取極限”的方法，培養(yǎng)邏輯思維能力和進(jìn)行知識(shí)遷移的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

（3）思想目標(biāo)：激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，強(qiáng)化參與意識(shí)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念和思想

教學(xué)難點(diǎn)：理解定積分的概念，領(lǐng)會(huì)定積分的思想

二、學(xué)情分析

一般來說，學(xué)生從知識(shí)結(jié)構(gòu)上來說屬于好壞差別很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本聽不懂，基于這些特點(diǎn)，綜合教材內(nèi)容，我以板書教學(xué)為主，多媒體課件為輔，把概念性較強(qiáng)的課本知識(shí)直觀化、形象化，引導(dǎo)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)。

三、教法和學(xué)法

1、教法方面

以講授為主：案例教學(xué)法（引入概念）問題驅(qū)動(dòng)法（加深理解）練習(xí)法（鞏固知識(shí)）

直觀性教學(xué)法（變抽象為具體）

2、學(xué)法方面：

板書教學(xué)為主，多媒體課件為輔（化解難點(diǎn)、保證重點(diǎn)）

（1）發(fā)現(xiàn)法解決第一個(gè)案例

（2）模仿法解決第二個(gè)案例

（3）歸納法總結(jié)出概念（4）練習(xí)法鞏固加深理解

四、教學(xué)程序

1、組織教學(xué)

2、導(dǎo)入新課：

我們前面剛剛學(xué)習(xí)了不定積分的一些基本知識(shí)，我們知道不定積分的概念、幾何意義和性質(zhì)，今天我們要學(xué)習(xí)定積分的概念、幾何意義和性質(zhì)。

3、講授新課（分為三個(gè)時(shí)段）

第一時(shí)段講授

概念：

案例1：曲邊梯形的面積如何求？

首先用多媒體演示一個(gè)曲邊梯形，然后提出問題

（1）什么是曲邊梯形？

（2）有關(guān)歷史：簡(jiǎn)單介紹割圓術(shù)及微積分背景

（3）探究：提出幾個(gè)問題（注意啟發(fā)與探究）

a、能否直接求出面積的準(zhǔn)確值？

b、用什么圖形的面積來代替曲邊梯形的面積呢？三角形、矩形、梯形？采用一個(gè)矩形的面積來近似與二個(gè)矩形的面積來近似，一般來說哪個(gè)值更接近？二個(gè)矩形與三個(gè)相比呢？……探究階段、概念引入階段、創(chuàng)設(shè)情境、拋磚引玉

（4）猜想:讓學(xué)生大膽設(shè)想，使用什么方法，可使誤差越來越小，直到為零？

（5）論證：多媒體圖像演示，直觀形象模擬,讓學(xué)生逐步觀察到求出面積的方法.（6）教師講解分析:“分割成塊、近似代替、積累求和、無窮累加”的微積分思想方法。思解階段、概念探索階段、啟發(fā)探究、引人入勝

（7）總結(jié): 總結(jié)出求該平面圖形面積的極限式公式

案例2.如何求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程？

（1）提問: 通過類似方法解決，注意啟發(fā)引導(dǎo)。

（2）歸納：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。

案例1和案例2的共同點(diǎn)：特殊的和式極限，并寫出模型。

方法：化整為零細(xì)劃分,不變代變得微分, 積零為整微分和,無限累加得積分。

歸結(jié)階段、提煉概念階段、類比探究、數(shù)學(xué)建模

（1）定義: 寫出定積分的概念。

（2）疑問:不同的分割方法，不同的矩形的高度計(jì)算，對(duì)曲邊梯形的面積有何影響？

（3）定義說明

（4）簡(jiǎn)單應(yīng)用

曲邊梯形面積 直線運(yùn)動(dòng)路程

定義階段、抓本質(zhì)建立概念、深化概念

例

1、根據(jù)定積分的幾何意義，求??20sinxdx例

2、比較?20?xdx與?20sin?xdx的積分值的大小分析并解題解題示范、鞏固理解概念階段

練習(xí)1 定義計(jì)算 dxex?10練習(xí)2 將由曲線及直線y=0,x=0,x=1圍成的平面圖形的面積用定積分表示。學(xué)生練習(xí)，教師點(diǎn)評(píng)練習(xí)、訓(xùn)練鞏固階段意義：意義應(yīng)用概念階段、概念具體化1.幾何意義分f(x)>0, f(x)<0和f(x)符號(hào)不定三種情況。利用圖形直觀即可得出（關(guān)鍵要說明代數(shù)和的含義及原因）。2.范例(1)將幾個(gè)平面圖形的面積用定積分表示(題目略)。(2)利用幾何意義求定積分??20)32(dxx的值。第二時(shí)段指導(dǎo)練習(xí)題

4、歸納總結(jié): 總結(jié)：梳理知識(shí)、鞏固重點(diǎn)（1）、回顧四個(gè)步驟：①分割②近似③求和④取極限（2）、回顧定積分作為和式極限的概念（3）、加深概念理解的幾個(gè)注意點(diǎn)（4）、幾何意義 第三時(shí)段測(cè)驗(yàn)

5、作業(yè)布置

定積分的概念教材分析篇四

精品教學(xué)網(wǎng) 第五章 定積分的概念

教學(xué)目的與要求：

1． 解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

2． 解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。

3．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。

5.1定積分概念 一． 定積分的定義

不考慮上述二例的幾何意義，下面從數(shù)學(xué)的角度來定義定積分 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，記?xi?xi?xi?1,i?1,2,......n,??max{?x1,?x2,......,?xn}在[xi?1,xi]上任意取一點(diǎn)?i，作和式：

1)?f(?)?x.......(iii?1n如果無論[a,b]作怎樣分割，也無論?i在[xi?1,xi]怎樣選取，只要??0有?f(?i)?xi?i（i為一個(gè)確定的常數(shù)），則稱極限i是i?1nf(x)在[a,b]上的定積分，簡(jiǎn)稱積分，記做

?baf(x)dx即i=?f(x)dx其

ab

第-35 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) 中f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為積分表達(dá)式，a為積分下限，b為積分上限，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區(qū)間。注

1． 定積分還可以用???語言定義 2由此定義，以上二例的結(jié)果可以表示為a=

?baf(x)dx和s=?v(t)dt

t1t23有定義知道?ba與函數(shù)f(x)以及區(qū)間[a,b]f(x)dx表示一個(gè)具體的書，有關(guān)，而與積分變量x無關(guān)，即

?baf(x)dx=?f(u)du=?f(t)dt

aabb4定義中的??0不能用n??代替

n5如果lim??0?f(?)?x存在，則它就是f(x)在[a,b]上的定積分，那iii?1么f(x)必須在[a,b]上滿足什么條件f(x)在[a,b]上才可積分呢？

經(jīng)典反例：f(x)??1]中的有理點(diǎn)?1,x為[0，在[0，1]上不可積。

1]中的無理點(diǎn)?0，x為[0，可見函數(shù)f(x)在什么情況下可積分并不是一件容易的事情。以下給出兩個(gè)充分條件。

定理1 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。

定理3 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積。

6幾何意義

第-36 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) 當(dāng)f(x)?0時(shí)，?baf(x)dx表示曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x)? 0時(shí)，?baf(x)dx表示曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有負(fù)，則?0baf(x)dx表示曲邊梯形面積的代數(shù)和。

[例1]計(jì)算?1exdx

解：顯然f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積，現(xiàn)將[0，1]分成n個(gè)等分，分點(diǎn)為xi?取?i?xi作和式：

ni,i?0,1,2,.....n，?xi?1/n，??1/nnlim???0i?1111e[(e)n?1]f(?i)?xi?lim?e?lim?e?lim?e?11??0??0n??0nni?1i?1en?1nninin1n1n所以：?10exdx=e-1 7．按照定義

5．2定積分的性質(zhì)積分中值定理 有定積分的定義知，?baf(x)dx是當(dāng)a

b時(shí)無意義，但為了計(jì)算及應(yīng)用的方便，特作兩個(gè)規(guī)定： 1． a=b時(shí)，2． a>b時(shí)，??babf(x)dx=0 f(x)dx=-?f(x)dx

?ba[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx

aabb

性質(zhì)2：常數(shù)因子可以外提（可以推廣到n個(gè)）

第-37 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) ?bakf(x)dx?k?f(x)dx

ab性質(zhì)3：無論a,b,c的位置如何，有

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb性質(zhì)4：f(x)?1則?baf(x)dx?b?a

性質(zhì)5：若f(x)?g(x)則性質(zhì)6：?baf(x)dx??g(x)dx,a?b

ab?baf(x)dx??f(x)dx

ab性質(zhì)7：設(shè)在?a,b?，m?f?x??m，則

bm?b?a???af?x?dx?m?b?a?

性質(zhì)8：（積分中值定理）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則[a,b]上至少存 一點(diǎn)?，使下式成立，例1．利用定積分幾何意義，求定積分值上式表示介于x面積

例

2、（估計(jì)積分值）證明 2?1?03 證： ?baf(x)dx?(b?a)f(?)

?01?1?x2dx?

4之間?0, x?1, y?0, y?1?x2dx2?x?x2?1 299?1?2?x?x???x??在0,1 上最大值為，最小值為2

44?2?22??∴ 2?12?x?x23?1 第-38 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) ∴ 2?3?0112?x?x2?1 25．3定積分的計(jì)算方法 一．變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，x為[a,b]上任一點(diǎn)，顯然，f(x)在[a,b]上連續(xù)，從而可積，定積分為

?xaf(x)dx由于積分變量與積分上限相同，為防止混淆，修改為?(x)?變上限積分的函數(shù)。

?xaf(t)dt（a?b）稱?(x)是定理1：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則?(x)?導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為??(x)?證明省略

?xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(?f(t)dt)?f(x)dxa定理2：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)?(x)??f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)。

ax注意：

1定理說明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在 2此定理指出了定積分與原函數(shù)的關(guān)系

二、基本定理 牛頓—萊伯尼茲公式

定理 如果函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

。(1)證 已知函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù)

第-39 –頁 精品教學(xué)網(wǎng)

也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。于是這兩個(gè)原函數(shù)之差為某個(gè)常數(shù)，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由?????的定義式及上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定知?????????，因此，c = f(a)。以f(a)代入(2)式中的c，以代入(2)式中的?????，可得，在上式中令x = b，就得到所要證明的公式(1)。由積分性質(zhì)知，(1)式對(duì)a>b的情形同樣成立。為方便起見，以后把f(b)– f(a)記成。

公式(1)叫做牛頓(newton)-萊步尼茲(leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，也稱為微積分基本公式。

例1 計(jì)算定積分。

解。

例2 計(jì)算。

解。

第-40 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) 例3 計(jì)算。

解。

例4 計(jì)算正弦曲線y = sinx在[0,? ]上與x軸所圍成的平面圖形的面積。

解。

例5 求

解 易知這是一個(gè)型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計(jì)算。

因此。

第-41 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) ?例

6、limcosxx?01tlntdtx4?limcosxlncosx?sinx 3x?04x1sinxlncosx ?limcosx?lim?lim2x?0x?0x?04xx

?11?sinx ??limx?042x?cosx85．4定積分的換元法

定理：設(shè)（1）f(x)在[a,b]上連續(xù)，（2）函數(shù)x??(t)在[?.?]上嚴(yán)格單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（3）??t??時(shí)，a??(t)?b 且?(?)?a,?(?)?b則有換元公式：

?baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt…….(1)??注

1． 用換元法時(shí)，當(dāng)用x??(t)將積分變量x換成t求出原函數(shù)后，t不用回代，只要積分上下限作相應(yīng)的變化即可。2． x??(t)必須嚴(yán)格單調(diào) 3． ?可以大于?

4． 從左往右看，是不定積分的第二換元法；從右往左看，可以認(rèn)為是第一換元法。

例

1、?02x22x?x2dx??02x21-(x?1)2dx

法一

設(shè) x-1?sin t

第-42 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) π2π?2π(1?sin t)2322cos t dt?2?0(1?sint)dt?π cost2 ?設(shè) 法二 x?2sin2t

π20原式

?8? 例2．設(shè)fsin4 t dt?8?3！π3??π 4！22?x?在???,???f?x???x0上連續(xù)，且

?x?2t?f?t?dt, 證明：若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)也是偶函數(shù)。證：

f??x????x0??x?2t?f?t?dtt??u???x?2u?f??t?d??t?x0

??x0??x?2t?f?t?dt

?f?x?

例3． 奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1)f?x?在[-a,a]連續(xù)，a?0 ?x?為偶數(shù)，則?-a?x?a?ta當(dāng)f當(dāng)f(2)?af(x)dx?2?0f(x)dxaa

為奇函數(shù)，則

t?-af(x)dx?0

f(x)dx??0f(x)dx，f?x?以t為周期

說明在任何長(zhǎng)度為t的區(qū)間上的積分值是相等的。

第-43 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) 例

4、?-11x(1?x2001)(ex-e-x)dx?4 e原式 ?2?011x(ex-e-x)dx

x-x

?2?xd(e-e)

0

?2x(ex?e?x)?10?

例

5、?4 eπcos xcos x2dx?dx π?222?cosx?2sinx1?sinx2π20?0π ??1dsin x?2arctansinx21?sinxπ20?π 2 例

6、設(shè)f解： 設(shè)?x?為連續(xù)函數(shù)，且f(x)?sinx??π0π0f(x)dx 求f?x?

?則f?x??sinx?a f(x)dx?a

兩邊積分

? π0f(x)dx??(sinx?a)dx

0πa??cosx0?ax0

a?ππ2 1?π

第-44 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) ∴ f(x)?sinx?2 1?π5.5定積分的分部積分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

?ba?uv?dx?uv|ba??uvdx

ab證明：因?yàn)?uv)??u?v?uv?，則有uv??(uv)??u?v，兩邊取定積分。有?bab?uv?dx?uv|ba??uvdx也可以寫成：?udv?uv|a??vdu

aaabbb例1．解：?10xexdx

1100?10xxexdx??xdex?xex|10??edx?e?(e?1)?1 e例2．解：?sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dx?xsin(lnx)|?xdsin(lnx)?esin1?xcos(lnx)dx1?1?1?1xee1e=esin1??cos(lnx)dx?esin1?xcos(lnx)|1??xsin(lnx)dx

11xe=esin1?ecos1?1?e?sin(lnx)dx

1e1=[esin1?ecos1?1] sin(lnx)dx?12例

3、設(shè) f?x???1xln tdt1?tx?0，?1?求f?x??f??

?x???1x1ln tlnt?????解：f?x??f?dt??1xdt? ??????1?1?t1?t??x????

第-45 –頁 精品教學(xué)網(wǎng)

1lnx?1? ??x???2? 1?x1?1?x?xln例4． 設(shè)f(x)在[a,b]連

(a,b)可導(dǎo)，且f?(x)?0，f(x)?x1f(t)dt證明在(a,b)內(nèi)，有f?(x)?0 ?ax?a證：f?(x)?(x?a)f(x)??af(t)dt(x?a)2x

?(x?a)f(x)?(x?a)f(?)(x?a)2x?aa???x?b

?f(x)?f(?)

?f?(x)?0?f(x)在(a,b)單調(diào)減，??x

?f(?)?f(x)故 f?(x)?0

5．6定積分的近似計(jì)算 5．7廣義積分 一 無窮限的廣義積分

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a , +?)上連續(xù)，取b>a，若極限

存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a , +??)上的廣義積分，記作，即

(1)。

第-46 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) 這時(shí)也稱廣義積分分發(fā)散。

收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-? ,+?)上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-??, +?)上的廣義積分，記作收斂；否則就稱廣義積分，也稱廣義積分發(fā)散。

上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。

例1：計(jì)算廣義積分???0arctgxdx 1?x2解：???0barctgxarctgx1?22bdx=lim?dx?lim[arctgx]|0?

b???01?x2b???21?x28例2．計(jì)算廣義積分?sinxdx以及???0????sinxdx

解： ?0??sinxdx??cosx|0????(1?limcosa)顯然發(fā)散

a???同理?????sinxdx??sinxdx??sinxdx也發(fā)散

??00??例3： 證明廣義積分證 當(dāng)p = 1時(shí)，(a>0)當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p? 1時(shí)發(fā)散。

第-47 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) , 當(dāng)p??1時(shí)，因此，當(dāng)p > 1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為廣義積分發(fā)散。

二．無界函數(shù)的廣義積分

；當(dāng)p??1時(shí)，這現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形。

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右領(lǐng)域內(nèi)無界，取，如果極限(a,b]上的廣義積分，仍然記作收斂。

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(a

與

都收斂，則定義

存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在，這時(shí)也稱廣義積分；

(2)否則，就稱廣義積分發(fā)散。

第-48 –頁 精品教學(xué)網(wǎng) 例1 證明廣義積分證 當(dāng)q = 1時(shí)，當(dāng)q < 1時(shí)收斂，當(dāng)q ? 1時(shí)發(fā)散。，當(dāng)q ??1時(shí)，因此，當(dāng)q < 1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為這廣義積分發(fā)散。

；當(dāng)q ??1時(shí)，例2．計(jì)算廣義積分?4dx4?x0

解：?4dx4?x0?lim?4??dx4?x??004???lim(?24?x)|0?lim[?2??24]?4??0??0例3：廣義積分可以相互轉(zhuǎn)化

?sin1x201xdx????1sintdt

第-49 –頁

定積分的概念教材分析篇五

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：定積分的概念、幾何意義及性質(zhì)

（2）過程與方法：在定積分概念形成的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生了解定積分概念形成的背景，培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的興趣.2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】：

理解定積分的概念及其幾何意義，定積分的性質(zhì) 【教學(xué)難點(diǎn)】：

對(duì)定積分概念形成過程的理解

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

1.5.3定積分的概念

教學(xué)過程

課堂小結(jié)

定積分的定義，計(jì)算定積分的“四步曲”，定積分的幾何意義，定積分的性質(zhì)。